Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57510 / 85021
↖ ↑ ↗
← S 47.094436°
W 22.044068°		 ← 207.93 m → S 47.094436°
W 22.041321°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
S 47.096305°
W 22.044068°		 ← 207.92 m →
43 225 m²		 S 47.096305°
W 22.041321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438770294189453 y=0.648662567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438770294189453 × 217)
    floor (0.438770294189453 × 131072)
    floor (57510.5)     		tx = 57510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648662567138672 × 217)
    floor (0.648662567138672 × 131072)
    floor (85021.5)     		ty = 85021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57510 / 85021 ti = "17/57510/85021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57510/85021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57510 ÷ 217
    57510 ÷ 131072     		x = 0.438766479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85021 ÷ 217
    85021 ÷ 131072     		y = 0.648658752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438766479492188 × 2 - 1) × π
    -0.122467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38474156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648658752441406 × 2 - 1) × π
    -0.297317504882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.934050489096794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38474156} λ = -0.38474156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934050489096794))-π/2
    2×atan(0.392958807119318)-π/2
    2×0.374421684542042-π/2
    0.748843369084084-1.57079632675     		φ = -0.82195296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38474156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.044068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82195296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.094436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57510 KachelY 85021 -0.38474156 -0.82195296 -22.044068 -47.094436
    Oben rechts KachelX + 1 57511 KachelY 85021 -0.38469362 -0.82195296 -22.041321 -47.094436
    Unten links KachelX 57510 KachelY + 1 85022 -0.38474156 -0.82198559 -22.044068 -47.096305
    Unten rechts KachelX + 1 57511 KachelY + 1 85022 -0.38469362 -0.82198559 -22.041321 -47.096305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82195296--0.82198559) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dl = 207.885730000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82195296--0.82198559) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dr = 207.885730000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38474156--0.38469362) × cos(-0.82195296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680792008622244 × 6371000     		do = 207.931403019399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38474156--0.38469362) × cos(-0.82198559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680768107542318 × 6371000     		du = 207.924103014376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82195296)-sin(-0.82198559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680792008622244-0.680768107542318)×R²
    abs(-0.38469362--0.38474156)×2.3901079925448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3901079925448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3901079925448e-05×40589641000000     		ar = 43225.2127271342m²