Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57507 / 84183
↖ ↑ ↗
← S 45.504422°
W 22.052307°		 ← 214.06 m → S 45.504422°
W 22.049561°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
S 45.506347°
W 22.052307°		 ← 214.05 m →
45 808 m²		 S 45.506347°
W 22.049561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438747406005859 y=0.642269134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438747406005859 × 217)
    floor (0.438747406005859 × 131072)
    floor (57507.5)     		tx = 57507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642269134521484 × 217)
    floor (0.642269134521484 × 131072)
    floor (84183.5)     		ty = 84183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57507 / 84183 ti = "17/57507/84183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57507/84183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57507 ÷ 217
    57507 ÷ 131072     		x = 0.438743591308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84183 ÷ 217
    84183 ÷ 131072     		y = 0.642265319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438743591308594 × 2 - 1) × π
    -0.122512817382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38488537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642265319824219 × 2 - 1) × π
    -0.284530639648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.893879367215187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38488537} λ = -0.38488537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893879367215187))-π/2
    2×atan(0.409065754376231)-π/2
    2×0.388297169518965-π/2
    0.77659433903793-1.57079632675     		φ = -0.79420199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38488537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.052307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79420199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.504422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57507 KachelY 84183 -0.38488537 -0.79420199 -22.052307 -45.504422
    Oben rechts KachelX + 1 57508 KachelY 84183 -0.38483743 -0.79420199 -22.049561 -45.504422
    Unten links KachelX 57507 KachelY + 1 84184 -0.38488537 -0.79423558 -22.052307 -45.506347
    Unten rechts KachelX + 1 57508 KachelY + 1 84184 -0.38483743 -0.79423558 -22.049561 -45.506347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79420199--0.79423558) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dl = 214.001890000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79420199--0.79423558) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dr = 214.001890000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38488537--0.38483743) × cos(-0.79420199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.700854213298304 × 6371000     		do = 214.05891672886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38488537--0.38483743) × cos(-0.79423558) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.700830253003312 × 6371000     		du = 214.051598638031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79420199)-sin(-0.79423558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700854213298304-0.700830253003312)×R²
    abs(-0.38483743--0.38488537)×2.3960294992631e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3960294992631e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3960294992631e-05×40589641000000     		ar = 45808.2297130442m²