Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57506 / 85764
↖ ↑ ↗
← S 48.465637°
W 22.055053°		 ← 202.48 m → S 48.465637°
W 22.052307°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 48.467458°
W 22.055053°		 ← 202.47 m →
41 008 m²		 S 48.467458°
W 22.052307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438739776611328 y=0.654331207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438739776611328 × 217)
    floor (0.438739776611328 × 131072)
    floor (57506.5)     		tx = 57506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654331207275391 × 217)
    floor (0.654331207275391 × 131072)
    floor (85764.5)     		ty = 85764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57506 / 85764 ti = "17/57506/85764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57506/85764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57506 ÷ 217
    57506 ÷ 131072     		x = 0.438735961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85764 ÷ 217
    85764 ÷ 131072     		y = 0.654327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438735961914062 × 2 - 1) × π
    -0.122528076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38493330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.30865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.969667605514496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38493330} λ = -0.38493330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969667605514496))-π/2
    2×atan(0.379209064158835)-π/2
    2×0.362455692666854-π/2
    0.724911385333707-1.57079632675     		φ = -0.84588494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38493330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.055053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84588494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.465637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57506 KachelY 85764 -0.38493330 -0.84588494 -22.055053 -48.465637
    Oben rechts KachelX + 1 57507 KachelY 85764 -0.38488537 -0.84588494 -22.052307 -48.465637
    Unten links KachelX 57506 KachelY + 1 85765 -0.38493330 -0.84591673 -22.055053 -48.467458
    Unten rechts KachelX + 1 57507 KachelY + 1 85765 -0.38488537 -0.84591673 -22.052307 -48.467458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84588494--0.84591673) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84588494--0.84591673) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38493330--0.38488537) × cos(-0.84588494) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663069113127069 × 6371000     		do = 202.476130414671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38493330--0.38488537) × cos(-0.84591673) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66304531612743 × 6371000     		du = 202.468863714553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84588494)-sin(-0.84591673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663069113127069-0.66304531612743)×R²
    abs(-0.38488537--0.38493330)×2.37969996387255e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37969996387255e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37969996387255e-05×40589641000000     		ar = 41007.5829463058m²