Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57505 / 44257
↖ ↑ ↗
← N 50.343708°
W 22.057800°		 ← 194.92 m → N 50.343708°
W 22.055053°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
N 50.341955°
W 22.057800°		 ← 194.92 m →
38 000 m²		 N 50.341955°
W 22.055053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438732147216797 y=0.337657928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438732147216797 × 217)
    floor (0.438732147216797 × 131072)
    floor (57505.5)     		tx = 57505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337657928466797 × 217)
    floor (0.337657928466797 × 131072)
    floor (44257.5)     		ty = 44257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57505 / 44257 ti = "17/57505/44257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57505/44257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57505 ÷ 217
    57505 ÷ 131072     		x = 0.438728332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44257 ÷ 217
    44257 ÷ 131072     		y = 0.337654113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438728332519531 × 2 - 1) × π
    -0.122543334960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38498124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337654113769531 × 2 - 1) × π
    0.324691772460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.02004928701517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38498124} λ = -0.38498124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02004928701517))-π/2
    2×atan(2.7733314498251)-π/2
    2×1.22472989124959-π/2
    2.44945978249919-1.57079632675     		φ = 0.87866346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38498124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.057800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87866346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.343708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57505 KachelY 44257 -0.38498124 0.87866346 -22.057800 50.343708
    Oben rechts KachelX + 1 57506 KachelY 44257 -0.38493330 0.87866346 -22.055053 50.343708
    Unten links KachelX 57505 KachelY + 1 44258 -0.38498124 0.87863286 -22.057800 50.341955
    Unten rechts KachelX + 1 57506 KachelY + 1 44258 -0.38493330 0.87863286 -22.055053 50.341955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87866346-0.87863286) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dl = 194.952599999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87866346-0.87863286) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dr = 194.952599999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38498124--0.38493330) × cos(0.87866346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638180698149153 × 6371000     		do = 194.91681198602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38498124--0.38493330) × cos(0.87863286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638204256380717 × 6371000     		du = 194.924007276328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87866346)-sin(0.87863286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638180698149153-0.638204256380717)×R²
    abs(-0.38493330--0.38498124)×2.35582315634142e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35582315634142e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35582315634142e-05×40589641000000     		ar = 38000.2406535957m²