Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57504 / 45232
↖ ↑ ↗
← N 48.603857°
W 22.060547°		 ← 201.97 m → N 48.603857°
W 22.057800°		 →
↑
201.90 m
↓
↑
201.90 m
↓
N 48.602042°
W 22.060547°		 ← 201.97 m →
40 777 m²		 N 48.602042°
W 22.057800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438724517822266 y=0.345096588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438724517822266 × 217)
    floor (0.438724517822266 × 131072)
    floor (57504.5)     		tx = 57504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345096588134766 × 217)
    floor (0.345096588134766 × 131072)
    floor (45232.5)     		ty = 45232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57504 / 45232 ti = "17/57504/45232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57504/45232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57504 ÷ 217
    57504 ÷ 131072     		x = 0.438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45232 ÷ 217
    45232 ÷ 131072     		y = 0.3450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.12255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38502918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3450927734375 × 2 - 1) × π
    0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38502918} λ = -0.38502918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97331080988562))-π/2
    2×atan(2.64669266578097)-π/2
    2×1.20954683560533-π/2
    2.41909367121065-1.57079632675     		φ = 0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38502918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.060547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57504 KachelY 45232 -0.38502918 0.84829734 -22.060547 48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 57505 KachelY 45232 -0.38498124 0.84829734 -22.057800 48.603857
    Unten links KachelX 57504 KachelY + 1 45233 -0.38502918 0.84826565 -22.060547 48.602042
    Unten rechts KachelX + 1 57505 KachelY + 1 45233 -0.38498124 0.84826565 -22.057800 48.602042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84829734-0.84826565) × R
    3.16900000000286e-05 × 6371000     		dl = 201.896990000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84829734-0.84826565) × R
    3.16900000000286e-05 × 6371000     		dr = 201.896990000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38502918--0.38498124) × cos(0.84829734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 201.966241341381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38502918--0.38498124) × cos(0.84826565) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661285135797938 × 6371000     		du = 201.973501952187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84829734)-sin(0.84826565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.661285135797938)×R²
    abs(-0.38498124--0.38502918)×2.37720985982737e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37720985982737e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37720985982737e-05×40589641000000     		ar = 40777.1091595861m²