Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57503 / 45225
↖ ↑ ↗
← N 48.616570°
W 22.063293°		 ← 201.87 m → N 48.616570°
W 22.060547°		 →
↑
201.90 m
↓
↑
201.90 m
↓
N 48.614754°
W 22.063293°		 ← 201.88 m →
40 758 m²		 N 48.614754°
W 22.060547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438716888427734 y=0.345043182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438716888427734 × 217)
    floor (0.438716888427734 × 131072)
    floor (57503.5)     		tx = 57503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345043182373047 × 217)
    floor (0.345043182373047 × 131072)
    floor (45225.5)     		ty = 45225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57503 / 45225 ti = "17/57503/45225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57503/45225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57503 ÷ 217
    57503 ÷ 131072     		x = 0.438713073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45225 ÷ 217
    45225 ÷ 131072     		y = 0.345039367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438713073730469 × 2 - 1) × π
    -0.122573852539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38507711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345039367675781 × 2 - 1) × π
    0.309921264648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.973646368182961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38507711} λ = -0.38507711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.973646368182961))-π/2
    2×atan(2.64758093449011)-π/2
    2×1.20965776750998-π/2
    2.41931553501997-1.57079632675     		φ = 0.84851921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38507711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.063293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84851921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.616570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57503 KachelY 45225 -0.38507711 0.84851921 -22.063293 48.616570
    Oben rechts KachelX + 1 57504 KachelY 45225 -0.38502918 0.84851921 -22.060547 48.616570
    Unten links KachelX 57503 KachelY + 1 45226 -0.38507711 0.84848752 -22.063293 48.614754
    Unten rechts KachelX + 1 57504 KachelY + 1 45226 -0.38502918 0.84848752 -22.060547 48.614754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84851921-0.84848752) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dl = 201.896989999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84851921-0.84848752) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dr = 201.896989999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38507711--0.38502918) × cos(0.84851921) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.661094910404276 × 6371000     		do = 201.873283863608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38507711--0.38502918) × cos(0.84848752) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.661118687151741 × 6371000     		du = 201.88054437948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84851921)-sin(0.84848752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661094910404276-0.661118687151741)×R²
    abs(-0.38502918--0.38507711)×2.37767474651207e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37767474651207e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37767474651207e-05×40589641000000     		ar = 40758.341314866m²