Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57502 / 45231
↖ ↑ ↗
← N 48.605674°
W 22.066040°		 ← 201.96 m → N 48.605674°
W 22.063293°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 48.603857°
W 22.066040°		 ← 201.97 m →
40 789 m²		 N 48.603857°
W 22.063293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438709259033203 y=0.345088958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438709259033203 × 217)
    floor (0.438709259033203 × 131072)
    floor (57502.5)     		tx = 57502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345088958740234 × 217)
    floor (0.345088958740234 × 131072)
    floor (45231.5)     		ty = 45231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57502 / 45231 ti = "17/57502/45231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57502/45231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57502 ÷ 217
    57502 ÷ 131072     		x = 0.438705444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45231 ÷ 217
    45231 ÷ 131072     		y = 0.345085144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438705444335938 × 2 - 1) × π
    -0.122589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38512505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345085144042969 × 2 - 1) × π
    0.309829711914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.97335874678524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38512505} λ = -0.38512505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97335874678524))-π/2
    2×atan(2.64681954306264)-π/2
    2×1.20956268473008-π/2
    2.41912536946016-1.57079632675     		φ = 0.84832904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38512505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.066040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84832904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.605674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57502 KachelY 45231 -0.38512505 0.84832904 -22.066040 48.605674
    Oben rechts KachelX + 1 57503 KachelY 45231 -0.38507711 0.84832904 -22.063293 48.605674
    Unten links KachelX 57502 KachelY + 1 45232 -0.38512505 0.84829734 -22.066040 48.603857
    Unten rechts KachelX + 1 57503 KachelY + 1 45232 -0.38507711 0.84829734 -22.063293 48.603857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84832904-0.84829734) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84832904-0.84829734) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38512505--0.38507711) × cos(0.84832904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6612375834349 × 6371000     		do = 201.958978236517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38512505--0.38507711) × cos(0.84829734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661261363699339 × 6371000     		du = 201.966241341381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84832904)-sin(0.84829734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6612375834349-0.661261363699339)×R²
    abs(-0.38507711--0.38512505)×2.37802644394991e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37802644394991e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37802644394991e-05×40589641000000     		ar = 40788.5100503204m²