Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57501 / 45230
↖ ↑ ↗
← N 48.607490°
W 22.068787°		 ← 201.95 m → N 48.607490°
W 22.066040°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 48.605674°
W 22.068787°		 ← 201.96 m →
40 787 m²		 N 48.605674°
W 22.066040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438701629638672 y=0.345081329345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438701629638672 × 217)
    floor (0.438701629638672 × 131072)
    floor (57501.5)     		tx = 57501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345081329345703 × 217)
    floor (0.345081329345703 × 131072)
    floor (45230.5)     		ty = 45230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57501 / 45230 ti = "17/57501/45230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57501/45230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57501 ÷ 217
    57501 ÷ 131072     		x = 0.438697814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45230 ÷ 217
    45230 ÷ 131072     		y = 0.345077514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438697814941406 × 2 - 1) × π
    -0.122604370117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38517299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345077514648438 × 2 - 1) × π
    0.309844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.97340668368486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38517299} λ = -0.38517299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97340668368486))-π/2
    2×atan(2.64694642642656)-π/2
    2×1.2095785332849-π/2
    2.41915706656979-1.57079632675     		φ = 0.84836074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38517299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.068787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84836074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.607490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57501 KachelY 45230 -0.38517299 0.84836074 -22.068787 48.607490
    Oben rechts KachelX + 1 57502 KachelY 45230 -0.38512505 0.84836074 -22.066040 48.607490
    Unten links KachelX 57501 KachelY + 1 45231 -0.38517299 0.84832904 -22.068787 48.605674
    Unten rechts KachelX + 1 57502 KachelY + 1 45231 -0.38512505 0.84832904 -22.066040 48.605674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84836074-0.84832904) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84836074-0.84832904) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38517299--0.38512505) × cos(0.84836074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661213802505989 × 6371000     		do = 201.951714928473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38517299--0.38512505) × cos(0.84832904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6612375834349 × 6371000     		du = 201.958978236284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84836074)-sin(0.84832904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661213802505989-0.6612375834349)×R²
    abs(-0.38512505--0.38517299)×2.37809289105329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37809289105329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37809289105329e-05×40589641000000     		ar = 40787.0431678973m²