Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57501 / 45229
↖ ↑ ↗
← N 48.609306°
W 22.068787°		 ← 201.94 m → N 48.609306°
W 22.066040°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 48.607490°
W 22.068787°		 ← 201.95 m →
40 786 m²		 N 48.607490°
W 22.066040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438701629638672 y=0.345073699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438701629638672 × 217)
    floor (0.438701629638672 × 131072)
    floor (57501.5)     		tx = 57501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345073699951172 × 217)
    floor (0.345073699951172 × 131072)
    floor (45229.5)     		ty = 45229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57501 / 45229 ti = "17/57501/45229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57501/45229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57501 ÷ 217
    57501 ÷ 131072     		x = 0.438697814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45229 ÷ 217
    45229 ÷ 131072     		y = 0.345069885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438697814941406 × 2 - 1) × π
    -0.122604370117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38517299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345069885253906 × 2 - 1) × π
    0.309860229492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.97345462058448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38517299} λ = -0.38517299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97345462058448))-π/2
    2×atan(2.64707331587302)-π/2
    2×1.20959438126977-π/2
    2.41918876253954-1.57079632675     		φ = 0.84839244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38517299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.068787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84839244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.609306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57501 KachelY 45229 -0.38517299 0.84839244 -22.068787 48.609306
    Oben rechts KachelX + 1 57502 KachelY 45229 -0.38512505 0.84839244 -22.066040 48.609306
    Unten links KachelX 57501 KachelY + 1 45230 -0.38517299 0.84836074 -22.068787 48.607490
    Unten rechts KachelX + 1 57502 KachelY + 1 45230 -0.38512505 0.84836074 -22.066040 48.607490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84839244-0.84836074) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dl = 201.960700000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84839244-0.84836074) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dr = 201.960700000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38517299--0.38512505) × cos(0.84839244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661190020912632 × 6371000     		do = 201.944451417724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38517299--0.38512505) × cos(0.84836074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661213802505989 × 6371000     		du = 201.951714928473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84839244)-sin(0.84836074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661190020912632-0.661213802505989)×R²
    abs(-0.38512505--0.38517299)×2.37815933576968e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37815933576968e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37815933576968e-05×40589641000000     		ar = 40785.5762446909m²