Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57500 / 87277
↖ ↑ ↗
← S 51.146617°
W 22.071533°		 ← 191.60 m → S 51.146617°
W 22.068787°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
S 51.148341°
W 22.071533°		 ← 191.60 m →
36 718 m²		 S 51.148341°
W 22.068787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438694000244141 y=0.665874481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438694000244141 × 217)
    floor (0.438694000244141 × 131072)
    floor (57500.5)     		tx = 57500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665874481201172 × 217)
    floor (0.665874481201172 × 131072)
    floor (87277.5)     		ty = 87277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57500 / 87277 ti = "17/57500/87277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57500/87277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57500 ÷ 217
    57500 ÷ 131072     		x = 0.438690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87277 ÷ 217
    87277 ÷ 131072     		y = 0.665870666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.12261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38522093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665870666503906 × 2 - 1) × π
    -0.331741333007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.04219613463964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38522093} λ = -0.38522093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04219613463964))-π/2
    2×atan(0.352679299621831)-π/2
    2×0.339059726365742-π/2
    0.678119452731484-1.57079632675     		φ = -0.89267687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38522093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.071533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89267687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.146617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57500 KachelY 87277 -0.38522093 -0.89267687 -22.071533 -51.146617
    Oben rechts KachelX + 1 57501 KachelY 87277 -0.38517299 -0.89267687 -22.068787 -51.146617
    Unten links KachelX 57500 KachelY + 1 87278 -0.38522093 -0.89270695 -22.071533 -51.148341
    Unten rechts KachelX + 1 57501 KachelY + 1 87278 -0.38517299 -0.89270695 -22.068787 -51.148341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89267687--0.89270695) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dl = 191.639680000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89267687--0.89270695) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dr = 191.639680000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38522093--0.38517299) × cos(-0.89267687) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627329653942677 × 6371000     		do = 191.602623779482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38522093--0.38517299) × cos(-0.89270695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627306228744102 × 6371000     		du = 191.595469120873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89267687)-sin(-0.89270695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627329653942677-0.627306228744102)×R²
    abs(-0.38517299--0.38522093)×2.34251985751222e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34251985751222e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34251985751222e-05×40589641000000     		ar = 36717.9799528007m²