Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57500 / 85805
↖ ↑ ↗
← S 48.540250°
W 22.071533°		 ← 202.22 m → S 48.540250°
W 22.068787°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 48.542069°
W 22.071533°		 ← 202.21 m →
40 891 m²		 S 48.542069°
W 22.068787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438694000244141 y=0.654644012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438694000244141 × 217)
    floor (0.438694000244141 × 131072)
    floor (57500.5)     		tx = 57500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654644012451172 × 217)
    floor (0.654644012451172 × 131072)
    floor (85805.5)     		ty = 85805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57500 / 85805 ti = "17/57500/85805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57500/85805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57500 ÷ 217
    57500 ÷ 131072     		x = 0.438690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85805 ÷ 217
    85805 ÷ 131072     		y = 0.654640197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.12261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38522093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654640197753906 × 2 - 1) × π
    -0.309280395507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.971633018398918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38522093} λ = -0.38522093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971633018398918))-π/2
    2×atan(0.378464493712103)-π/2
    2×0.36180456965503-π/2
    0.723609139310059-1.57079632675     		φ = -0.84718719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38522093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.071533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84718719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.540250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57500 KachelY 85805 -0.38522093 -0.84718719 -22.071533 -48.540250
    Oben rechts KachelX + 1 57501 KachelY 85805 -0.38517299 -0.84718719 -22.068787 -48.540250
    Unten links KachelX 57500 KachelY + 1 85806 -0.38522093 -0.84721893 -22.071533 -48.542069
    Unten rechts KachelX + 1 57501 KachelY + 1 85806 -0.38517299 -0.84721893 -22.068787 -48.542069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84718719--0.84721893) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dl = 202.215540000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84718719--0.84721893) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dr = 202.215540000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38522093--0.38517299) × cos(-0.84718719) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662093741276147 × 6371000     		do = 202.220470878737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38522093--0.38517299) × cos(-0.84721893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662069954319204 × 6371000     		du = 202.213205729811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84718719)-sin(-0.84721893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662093741276147-0.662069954319204)×R²
    abs(-0.38517299--0.38522093)×2.37869569421623e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37869569421623e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37869569421623e-05×40589641000000     		ar = 40891.3871582116m²