Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 575 / 709
↖ ↑ ↗
← S 56.752723°
E 22.148438°		 ← 21.432 km → S 56.752723°
E 22.500000°		 →
↑
21.377 km
↓
↑
21.377 km
↓
S 56.944974°
E 22.148438°		 ← 21.322 km →
456.993 km²		 S 56.944974°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56201171875 y=0.69287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56201171875 × 210)
    floor (0.56201171875 × 1024)
    floor (575.5)     		tx = 575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69287109375 × 210)
    floor (0.69287109375 × 1024)
    floor (709.5)     		ty = 709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 575 / 709 ti = "10/575/709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/575/709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 575 ÷ 210
    575 ÷ 1024     		x = 0.5615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 709 ÷ 210
    709 ÷ 1024     		y = 0.6923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5615234375 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6923828125 × 2 - 1) × π
    -0.384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20877686081934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38656316} λ = 0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20877686081934))-π/2
    2×atan(0.298562239358819)-π/2
    2×0.290137226612273-π/2
    0.580274453224545-1.57079632675     		φ = -0.99052187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99052187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.752723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 575 KachelY 709 0.38656316 -0.99052187 22.148438 -56.752723
    Oben rechts KachelX + 1 576 KachelY 709 0.39269908 -0.99052187 22.500000 -56.752723
    Unten links KachelX 575 KachelY + 1 710 0.38656316 -0.99387729 22.148438 -56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 576 KachelY + 1 710 0.39269908 -0.99387729 22.500000 -56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99052187--0.99387729) × R
    0.00335542 × 6371000     		dl = 21377.38082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99052187--0.99387729) × R
    0.00335542 × 6371000     		dr = 21377.38082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38656316-0.39269908) × cos(-0.99052187) × R
    0.00613591999999996 × 0.548253489006567 × 6371000     		do = 21432.2959619973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38656316-0.39269908) × cos(-0.99387729) × R
    0.00613591999999996 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 21322.4765288713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99052187)-sin(-0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548253489006567-0.545444229211031)×R²
    abs(0.39269908-0.38656316)×0.00280925979553515×R²
    0.00613591999999996×0.00280925979553515×6371000²
    0.00613591999999996×0.00280925979553515×40589641000000     		ar = 456992955.472627m²