Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57497 / 85830
↖ ↑ ↗
← S 48.585692°
W 22.079773°		 ← 202.04 m → S 48.585692°
W 22.077026°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 48.587509°
W 22.079773°		 ← 202.03 m →
40 816 m²		 S 48.587509°
W 22.077026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438671112060547 y=0.654834747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438671112060547 × 217)
    floor (0.438671112060547 × 131072)
    floor (57497.5)     		tx = 57497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654834747314453 × 217)
    floor (0.654834747314453 × 131072)
    floor (85830.5)     		ty = 85830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57497 / 85830 ti = "17/57497/85830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57497/85830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57497 ÷ 217
    57497 ÷ 131072     		x = 0.438667297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85830 ÷ 217
    85830 ÷ 131072     		y = 0.654830932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438667297363281 × 2 - 1) × π
    -0.122665405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38536474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654830932617188 × 2 - 1) × π
    -0.309661865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.97283144088942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38536474} λ = -0.38536474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97283144088942))-π/2
    2×atan(0.378011205020915)-π/2
    2×0.361408013784952-π/2
    0.722816027569904-1.57079632675     		φ = -0.84798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38536474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.079773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.585692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57497 KachelY 85830 -0.38536474 -0.84798030 -22.079773 -48.585692
    Oben rechts KachelX + 1 57498 KachelY 85830 -0.38531680 -0.84798030 -22.077026 -48.585692
    Unten links KachelX 57497 KachelY + 1 85831 -0.38536474 -0.84801201 -22.079773 -48.587509
    Unten rechts KachelX + 1 57498 KachelY + 1 85831 -0.38531680 -0.84801201 -22.077026 -48.587509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84798030--0.84801201) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84798030--0.84801201) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38536474--0.38531680) × cos(-0.84798030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661499159790408 × 6371000     		do = 202.038870388231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38536474--0.38531680) × cos(-0.84801201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661475378673163 × 6371000     		du = 202.031607022898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84798030)-sin(-0.84801201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661499159790408-0.661475378673163)×R²
    abs(-0.38531680--0.38536474)×2.3781117244992e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3781117244992e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3781117244992e-05×40589641000000     		ar = 40816.0499021365m²