Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57497 / 44274
↖ ↑ ↗
← N 50.313900°
W 22.079773°		 ← 195.04 m → N 50.313900°
W 22.077026°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.312146°
W 22.079773°		 ← 195.05 m →
38 037 m²		 N 50.312146°
W 22.077026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438671112060547 y=0.337787628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438671112060547 × 217)
    floor (0.438671112060547 × 131072)
    floor (57497.5)     		tx = 57497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337787628173828 × 217)
    floor (0.337787628173828 × 131072)
    floor (44274.5)     		ty = 44274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57497 / 44274 ti = "17/57497/44274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57497/44274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57497 ÷ 217
    57497 ÷ 131072     		x = 0.438667297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44274 ÷ 217
    44274 ÷ 131072     		y = 0.337783813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438667297363281 × 2 - 1) × π
    -0.122665405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38536474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337783813476562 × 2 - 1) × π
    0.324432373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01923435972163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38536474} λ = -0.38536474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01923435972163))-π/2
    2×atan(2.77107230697622)-π/2
    2×1.22446977423502-π/2
    2.44893954847005-1.57079632675     		φ = 0.87814322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38536474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.079773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87814322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.313900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57497 KachelY 44274 -0.38536474 0.87814322 -22.079773 50.313900
    Oben rechts KachelX + 1 57498 KachelY 44274 -0.38531680 0.87814322 -22.077026 50.313900
    Unten links KachelX 57497 KachelY + 1 44275 -0.38536474 0.87811261 -22.079773 50.312146
    Unten rechts KachelX + 1 57498 KachelY + 1 44275 -0.38531680 0.87811261 -22.077026 50.312146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87814322-0.87811261) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87814322-0.87811261) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38536474--0.38531680) × cos(0.87814322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638581137580818 × 6371000     		do = 195.039116495535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38536474--0.38531680) × cos(0.87811261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638604693344938 × 6371000     		du = 195.046311032223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87814322)-sin(0.87811261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638581137580818-0.638604693344938)×R²
    abs(-0.38531680--0.38536474)×2.35557641198314e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35557641198314e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35557641198314e-05×40589641000000     		ar = 38036.5103336705m²