Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57496 / 87032
↖ ↑ ↗
← S 50.722547°
W 22.082519°		 ← 193.32 m → S 50.722547°
W 22.079773°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
S 50.724285°
W 22.082519°		 ← 193.31 m →
37 367 m²		 S 50.724285°
W 22.079773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438663482666016 y=0.664005279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438663482666016 × 217)
    floor (0.438663482666016 × 131072)
    floor (57496.5)     		tx = 57496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664005279541016 × 217)
    floor (0.664005279541016 × 131072)
    floor (87032.5)     		ty = 87032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57496 / 87032 ti = "17/57496/87032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57496/87032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57496 ÷ 217
    57496 ÷ 131072     		x = 0.43865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87032 ÷ 217
    87032 ÷ 131072     		y = 0.66400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.1226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38541267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.3280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03045159423273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38541267} λ = -0.38541267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03045159423273))-π/2
    2×atan(0.356845774682759)-π/2
    2×0.342760439784817-π/2
    0.685520879569634-1.57079632675     		φ = -0.88527545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38541267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.082519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88527545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.722547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57496 KachelY 87032 -0.38541267 -0.88527545 -22.082519 -50.722547
    Oben rechts KachelX + 1 57497 KachelY 87032 -0.38536474 -0.88527545 -22.079773 -50.722547
    Unten links KachelX 57496 KachelY + 1 87033 -0.38541267 -0.88530579 -22.082519 -50.724285
    Unten rechts KachelX + 1 57497 KachelY + 1 87033 -0.38536474 -0.88530579 -22.079773 -50.724285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88527545--0.88530579) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88527545--0.88530579) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38541267--0.38536474) × cos(-0.88527545) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633076302583213 × 6371000     		do = 193.317464901823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38541267--0.38536474) × cos(-0.88530579) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633052816419522 × 6371000     		du = 193.310293119201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88527545)-sin(-0.88530579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633076302583213-0.633052816419522)×R²
    abs(-0.38536474--0.38541267)×2.34861636906336e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34861636906336e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34861636906336e-05×40589641000000     		ar = 37366.8266241797m²