Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57495 / 9069
↖ ↑ ↗
← N 78.227876°
E135.829468°		 ← 124.63 m → N 78.227876°
E135.834961°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
N 78.226755°
E135.829468°		 ← 124.64 m →
15 531 m²		 N 78.226755°
E135.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877311706542969 y=0.138389587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877311706542969 × 216)
    floor (0.877311706542969 × 65536)
    floor (57495.5)     		tx = 57495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138389587402344 × 216)
    floor (0.138389587402344 × 65536)
    floor (9069.5)     		ty = 9069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57495 / 9069 ti = "16/57495/9069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57495/9069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57495 ÷ 216
    57495 ÷ 65536     		x = 0.877304077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9069 ÷ 216
    9069 ÷ 65536     		y = 0.138381958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877304077148438 × 2 - 1) × π
    0.754608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.37067143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138381958007812 × 2 - 1) × π
    0.723236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27211316819142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37067143} λ = 2.37067143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27211316819142))-π/2
    2×atan(9.69987664280061)-π/2
    2×1.46806516209206-π/2
    2.93613032418412-1.57079632675     		φ = 1.36533400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37067143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36533400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.227876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57495 KachelY 9069 2.37067143 1.36533400 135.829468 78.227876
    Oben rechts KachelX + 1 57496 KachelY 9069 2.37076731 1.36533400 135.834961 78.227876
    Unten links KachelX 57495 KachelY + 1 9070 2.37067143 1.36531444 135.829468 78.226755
    Unten rechts KachelX + 1 57496 KachelY + 1 9070 2.37076731 1.36531444 135.834961 78.226755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36533400-1.36531444) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dl = 124.616760000896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36533400-1.36531444) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dr = 124.616760000896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37067143-2.37076731) × cos(1.36533400) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.204019784259795 × 6371000     		do = 124.625787164872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37067143-2.37076731) × cos(1.36531444) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.204038932810695 × 6371000     		du = 124.637484085529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36533400)-sin(1.36531444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204019784259795-0.204038932810695)×R²
    abs(2.37076731-2.37067143)×1.9148550900544e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.9148550900544e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.9148550900544e-05×40589641000000     		ar = 15531.1906259878m²