Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57494 / 87046
↖ ↑ ↗
← S 50.746883°
W 22.088013°		 ← 193.26 m → S 50.746883°
W 22.085266°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
S 50.748622°
W 22.088013°		 ← 193.25 m →
37 355 m²		 S 50.748622°
W 22.085266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438648223876953 y=0.664112091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438648223876953 × 217)
    floor (0.438648223876953 × 131072)
    floor (57494.5)     		tx = 57494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664112091064453 × 217)
    floor (0.664112091064453 × 131072)
    floor (87046.5)     		ty = 87046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57494 / 87046 ti = "17/57494/87046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57494/87046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57494 ÷ 217
    57494 ÷ 131072     		x = 0.438644409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87046 ÷ 217
    87046 ÷ 131072     		y = 0.664108276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438644409179688 × 2 - 1) × π
    -0.122711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38550855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664108276367188 × 2 - 1) × π
    -0.328216552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03112271082741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38550855} λ = -0.38550855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03112271082741))-π/2
    2×atan(0.356606369904872)-π/2
    2×0.342548060954931-π/2
    0.685096121909863-1.57079632675     		φ = -0.88570020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38550855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.088013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88570020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.746883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57494 KachelY 87046 -0.38550855 -0.88570020 -22.088013 -50.746883
    Oben rechts KachelX + 1 57495 KachelY 87046 -0.38546061 -0.88570020 -22.085266 -50.746883
    Unten links KachelX 57494 KachelY + 1 87047 -0.38550855 -0.88573054 -22.088013 -50.748622
    Unten rechts KachelX + 1 57495 KachelY + 1 87047 -0.38546061 -0.88573054 -22.085266 -50.748622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88570020--0.88573054) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dl = 193.296139999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88570020--0.88573054) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dr = 193.296139999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38550855--0.38546061) × cos(-0.88570020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632747451014112 × 6371000     		do = 193.257358459196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38550855--0.38546061) × cos(-0.88573054) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632723956694291 × 6371000     		du = 193.250182689179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88570020)-sin(-0.88573054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632747451014112-0.632723956694291)×R²
    abs(-0.38546061--0.38550855)×2.34943198209603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34943198209603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34943198209603e-05×40589641000000     		ar = 37355.2078953359m²