Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57493 / 84351
↖ ↑ ↗
← S 45.826886°
W 22.090759°		 ← 212.79 m → S 45.826886°
W 22.088013°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
S 45.828799°
W 22.090759°		 ← 212.78 m →
45 278 m²		 S 45.828799°
W 22.088013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438640594482422 y=0.643550872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438640594482422 × 217)
    floor (0.438640594482422 × 131072)
    floor (57493.5)     		tx = 57493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643550872802734 × 217)
    floor (0.643550872802734 × 131072)
    floor (84351.5)     		ty = 84351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57493 / 84351 ti = "17/57493/84351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57493/84351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57493 ÷ 217
    57493 ÷ 131072     		x = 0.438636779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84351 ÷ 217
    84351 ÷ 131072     		y = 0.643547058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438636779785156 × 2 - 1) × π
    -0.122726440429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38555648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643547058105469 × 2 - 1) × π
    -0.287094116210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.901932766351357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38555648} λ = -0.38555648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901932766351357))-π/2
    2×atan(0.405784614481684)-π/2
    2×0.385483145430438-π/2
    0.770966290860875-1.57079632675     		φ = -0.79983004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38555648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.090759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79983004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.826886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57493 KachelY 84351 -0.38555648 -0.79983004 -22.090759 -45.826886
    Oben rechts KachelX + 1 57494 KachelY 84351 -0.38550855 -0.79983004 -22.088013 -45.826886
    Unten links KachelX 57493 KachelY + 1 84352 -0.38555648 -0.79986344 -22.090759 -45.828799
    Unten rechts KachelX + 1 57494 KachelY + 1 84352 -0.38550855 -0.79986344 -22.088013 -45.828799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79983004--0.79986344) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79983004--0.79986344) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38555648--0.38550855) × cos(-0.79983004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.696828621125113 × 6371000     		do = 212.785002308749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38555648--0.38550855) × cos(-0.79986344) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69680466499832 × 6371000     		du = 212.777687017241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79983004)-sin(-0.79986344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696828621125113-0.69680466499832)×R²
    abs(-0.38550855--0.38555648)×2.39561267926236e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39561267926236e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39561267926236e-05×40589641000000     		ar = 45278.0402288771m²