Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57492 / 9148
↖ ↑ ↗
← N 78.139010°
E135.812988°		 ← 125.55 m → N 78.139010°
E135.818482°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
N 78.137881°
E135.812988°		 ← 125.56 m →
15 759 m²		 N 78.137881°
E135.818482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877265930175781 y=0.139595031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877265930175781 × 216)
    floor (0.877265930175781 × 65536)
    floor (57492.5)     		tx = 57492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139595031738281 × 216)
    floor (0.139595031738281 × 65536)
    floor (9148.5)     		ty = 9148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57492 / 9148 ti = "16/57492/9148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57492/9148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57492 ÷ 216
    57492 ÷ 65536     		x = 0.87725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9148 ÷ 216
    9148 ÷ 65536     		y = 0.13958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87725830078125 × 2 - 1) × π
    0.7545166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.37038381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13958740234375 × 2 - 1) × π
    0.7208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26453913805145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37038381} λ = 2.37038381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26453913805145))-π/2
    2×atan(9.62668700489808)-π/2
    2×1.46728966489821-π/2
    2.93457932979642-1.57079632675     		φ = 1.36378300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37038381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36378300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.139010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57492 KachelY 9148 2.37038381 1.36378300 135.812988 78.139010
    Oben rechts KachelX + 1 57493 KachelY 9148 2.37047969 1.36378300 135.818482 78.139010
    Unten links KachelX 57492 KachelY + 1 9149 2.37038381 1.36376330 135.812988 78.137881
    Unten rechts KachelX + 1 57493 KachelY + 1 9149 2.37047969 1.36376330 135.818482 78.137881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36378300-1.36376330) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dl = 125.508699999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36378300-1.36376330) × R
    1.96999999999559e-05 × 6371000     		dr = 125.508699999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37038381-2.37047969) × cos(1.36378300) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205537915709012 × 6371000     		do = 125.553140006883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37038381-2.37047969) × cos(1.36376330) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205557195057446 × 6371000     		du = 125.564916825407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36378300)-sin(1.36376330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205537915709012-0.205557195057446)×R²
    abs(2.37047969-2.37038381)×1.92793484346254e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92793484346254e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92793484346254e-05×40589641000000     		ar = 15758.7504306658m²