Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57490 / 84494
↖ ↑ ↗
← S 46.099900°
W 22.098999°		 ← 211.74 m → S 46.099900°
W 22.096253°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
S 46.101805°
W 22.098999°		 ← 211.73 m →
44 840 m²		 S 46.101805°
W 22.096253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438617706298828 y=0.644641876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438617706298828 × 217)
    floor (0.438617706298828 × 131072)
    floor (57490.5)     		tx = 57490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644641876220703 × 217)
    floor (0.644641876220703 × 131072)
    floor (84494.5)     		ty = 84494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57490 / 84494 ti = "17/57490/84494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57490/84494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57490 ÷ 217
    57490 ÷ 131072     		x = 0.438613891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84494 ÷ 217
    84494 ÷ 131072     		y = 0.644638061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438613891601562 × 2 - 1) × π
    -0.122772216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38570029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644638061523438 × 2 - 1) × π
    -0.289276123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.908787742997025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38570029} λ = -0.38570029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908787742997025))-π/2
    2×atan(0.403012482730806)-π/2
    2×0.383100644266311-π/2
    0.766201288532622-1.57079632675     		φ = -0.80459504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38570029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.098999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80459504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.099900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57490 KachelY 84494 -0.38570029 -0.80459504 -22.098999 -46.099900
    Oben rechts KachelX + 1 57491 KachelY 84494 -0.38565236 -0.80459504 -22.096253 -46.099900
    Unten links KachelX 57490 KachelY + 1 84495 -0.38570029 -0.80462828 -22.098999 -46.101805
    Unten rechts KachelX + 1 57491 KachelY + 1 84495 -0.38565236 -0.80462828 -22.096253 -46.101805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80459504--0.80462828) × R
    3.32399999999344e-05 × 6371000     		dl = 211.772039999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80459504--0.80462828) × R
    3.32399999999344e-05 × 6371000     		dr = 211.772039999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38570029--0.38565236) × cos(-0.80459504) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.693403085758498 × 6371000     		do = 211.738973875363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38570029--0.38565236) × cos(-0.80462828) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.693379134296705 × 6371000     		du = 211.731660008369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80459504)-sin(-0.80462828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693403085758498-0.693379134296705)×R²
    abs(-0.38565236--0.38570029)×2.39514617936809e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39514617936809e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39514617936809e-05×40589641000000     		ar = 44839.620012828m²