Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57488 / 85744
↖ ↑ ↗
← S 48.429200°
W 22.104492°		 ← 202.66 m → S 48.429200°
W 22.101746°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 48.431023°
W 22.104492°		 ← 202.66 m →
41 071 m²		 S 48.431023°
W 22.101746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438602447509766 y=0.654178619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438602447509766 × 217)
    floor (0.438602447509766 × 131072)
    floor (57488.5)     		tx = 57488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654178619384766 × 217)
    floor (0.654178619384766 × 131072)
    floor (85744.5)     		ty = 85744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57488 / 85744 ti = "17/57488/85744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57488/85744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57488 ÷ 217
    57488 ÷ 131072     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85744 ÷ 217
    85744 ÷ 131072     		y = 0.6541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968708867522095))-π/2
    2×atan(0.379572800631833)-π/2
    2×0.362773661504966-π/2
    0.725547323009933-1.57079632675     		φ = -0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57488 KachelY 85744 -0.38579617 -0.84524900 -22.104492 -48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 57489 KachelY 85744 -0.38574823 -0.84524900 -22.101746 -48.429200
    Unten links KachelX 57488 KachelY + 1 85745 -0.38579617 -0.84528081 -22.104492 -48.431023
    Unten rechts KachelX + 1 57489 KachelY + 1 85745 -0.38574823 -0.84528081 -22.101746 -48.431023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84524900--0.84528081) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84524900--0.84528081) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(-0.84524900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 202.663727872744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(-0.84528081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663521218552624 × 6371000     		du = 202.656459182004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84524900)-sin(-0.84528081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663521218552624)×R²
    abs(-0.38574823--0.38579617)×2.3798553258958e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3798553258958e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3798553258958e-05×40589641000000     		ar = 41071.4005744108m²