Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57488 / 44015
↖ ↑ ↗
← N 50.765997°
W 22.104492°		 ← 193.18 m → N 50.765997°
W 22.101746°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 50.764259°
W 22.104492°		 ← 193.19 m →
37 317 m²		 N 50.764259°
W 22.101746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438602447509766 y=0.335811614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438602447509766 × 217)
    floor (0.438602447509766 × 131072)
    floor (57488.5)     		tx = 57488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335811614990234 × 217)
    floor (0.335811614990234 × 131072)
    floor (44015.5)     		ty = 44015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57488 / 44015 ti = "17/57488/44015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57488/44015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57488 ÷ 217
    57488 ÷ 131072     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44015 ÷ 217
    44015 ÷ 131072     		y = 0.335807800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335807800292969 × 2 - 1) × π
    0.328384399414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.03165001672323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03165001672323))-π/2
    2×atan(2.80569145529541)-π/2
    2×1.22841505751181-π/2
    2.45683011502361-1.57079632675     		φ = 0.88603379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88603379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.765997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57488 KachelY 44015 -0.38579617 0.88603379 -22.104492 50.765997
    Oben rechts KachelX + 1 57489 KachelY 44015 -0.38574823 0.88603379 -22.101746 50.765997
    Unten links KachelX 57488 KachelY + 1 44016 -0.38579617 0.88600347 -22.104492 50.764259
    Unten rechts KachelX + 1 57489 KachelY + 1 44016 -0.38574823 0.88600347 -22.101746 50.764259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88603379-0.88600347) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88603379-0.88600347) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(0.88603379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632489097651271 × 6371000     		do = 193.178450691945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(0.88600347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632512582300562 × 6371000     		du = 193.185623508333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88603379)-sin(0.88600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632489097651271-0.632512582300562)×R²
    abs(-0.38574823--0.38579617)×2.34846492903618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34846492903618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34846492903618e-05×40589641000000     		ar = 37316.7268366835m²