Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57488 / 42384
↖ ↑ ↗
← N 53.514185°
W 22.104492°		 ← 181.61 m → N 53.514185°
W 22.101746°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
N 53.512551°
W 22.104492°		 ← 181.62 m →
32 988 m²		 N 53.512551°
W 22.101746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438602447509766 y=0.323368072509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438602447509766 × 217)
    floor (0.438602447509766 × 131072)
    floor (57488.5)     		tx = 57488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323368072509766 × 217)
    floor (0.323368072509766 × 131072)
    floor (42384.5)     		ty = 42384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57488 / 42384 ti = "17/57488/42384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57488/42384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57488 ÷ 217
    57488 ÷ 131072     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42384 ÷ 217
    42384 ÷ 131072     		y = 0.3233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3233642578125 × 2 - 1) × π
    0.353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10983510000354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10983510000354))-π/2
    2×atan(3.03385807000006)-π/2
    2×1.25239752159164-π/2
    2.50479504318327-1.57079632675     		φ = 0.93399872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93399872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.514185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57488 KachelY 42384 -0.38579617 0.93399872 -22.104492 53.514185
    Oben rechts KachelX + 1 57489 KachelY 42384 -0.38574823 0.93399872 -22.101746 53.514185
    Unten links KachelX 57488 KachelY + 1 42385 -0.38579617 0.93397021 -22.104492 53.512551
    Unten rechts KachelX + 1 57489 KachelY + 1 42385 -0.38574823 0.93397021 -22.101746 53.512551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93399872-0.93397021) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93399872-0.93397021) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(0.93399872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594623757534618 × 6371000     		do = 181.613401166472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(0.93397021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594646679449741 × 6371000     		du = 181.620402109361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93399872)-sin(0.93397021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594623757534618-0.594646679449741)×R²
    abs(-0.38574823--0.38579617)×2.29219151232085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29219151232085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29219151232085e-05×40589641000000     		ar = 32988.3873045018m²