Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57488 / 42382
↖ ↑ ↗
← N 53.517451°
W 22.104492°		 ← 181.60 m → N 53.517451°
W 22.101746°		 →
↑
181.57 m
↓
↑
181.57 m
↓
N 53.515818°
W 22.104492°		 ← 181.61 m →
32 974 m²		 N 53.515818°
W 22.101746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438602447509766 y=0.323352813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438602447509766 × 217)
    floor (0.438602447509766 × 131072)
    floor (57488.5)     		tx = 57488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323352813720703 × 217)
    floor (0.323352813720703 × 131072)
    floor (42382.5)     		ty = 42382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57488 / 42382 ti = "17/57488/42382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57488/42382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57488 ÷ 217
    57488 ÷ 131072     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42382 ÷ 217
    42382 ÷ 131072     		y = 0.323348999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323348999023438 × 2 - 1) × π
    0.353302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10993097380278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10993097380278))-π/2
    2×atan(3.03414895144332)-π/2
    2×1.25242602491256-π/2
    2.50485204982513-1.57079632675     		φ = 0.93405572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93405572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.517451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57488 KachelY 42382 -0.38579617 0.93405572 -22.104492 53.517451
    Oben rechts KachelX + 1 57489 KachelY 42382 -0.38574823 0.93405572 -22.101746 53.517451
    Unten links KachelX 57488 KachelY + 1 42383 -0.38579617 0.93402722 -22.104492 53.515818
    Unten rechts KachelX + 1 57489 KachelY + 1 42383 -0.38574823 0.93402722 -22.101746 53.515818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93405572-0.93402722) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dl = 181.573499999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93405572-0.93402722) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dr = 181.573499999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(0.93405572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594577928335184 × 6371000     		do = 181.599403749321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38574823) × cos(0.93402722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594600843176383 × 6371000     		du = 181.606402531652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93405572)-sin(0.93402722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594577928335184-0.594600843176383)×R²
    abs(-0.38574823--0.38579617)×2.29148411994284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29148411994284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29148411994284e-05×40589641000000     		ar = 32974.2747356891m²