Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57487 / 87279
↖ ↑ ↗
← S 51.150063°
W 22.107239°		 ← 191.59 m → S 51.150063°
W 22.104492°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
S 51.151786°
W 22.107239°		 ← 191.58 m →
36 703 m²		 S 51.151786°
W 22.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438594818115234 y=0.665889739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438594818115234 × 217)
    floor (0.438594818115234 × 131072)
    floor (57487.5)     		tx = 57487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665889739990234 × 217)
    floor (0.665889739990234 × 131072)
    floor (87279.5)     		ty = 87279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57487 / 87279 ti = "17/57487/87279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57487/87279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57487 ÷ 217
    57487 ÷ 131072     		x = 0.438591003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87279 ÷ 217
    87279 ÷ 131072     		y = 0.665885925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438591003417969 × 2 - 1) × π
    -0.122817993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38584411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665885925292969 × 2 - 1) × π
    -0.331771850585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.04229200843888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38584411} λ = -0.38584411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04229200843888))-π/2
    2×atan(0.352645488538288)-π/2
    2×0.339029655249862-π/2
    0.678059310499725-1.57079632675     		φ = -0.89273702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38584411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.107239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89273702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.150063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57487 KachelY 87279 -0.38584411 -0.89273702 -22.107239 -51.150063
    Oben rechts KachelX + 1 57488 KachelY 87279 -0.38579617 -0.89273702 -22.104492 -51.150063
    Unten links KachelX 57487 KachelY + 1 87280 -0.38584411 -0.89276709 -22.107239 -51.151786
    Unten rechts KachelX + 1 57488 KachelY + 1 87280 -0.38579617 -0.89276709 -22.104492 -51.151786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89273702--0.89276709) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89273702--0.89276709) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38584411--0.38579617) × cos(-0.89273702) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627282810765851 × 6371000     		do = 191.588316667536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38584411--0.38579617) × cos(-0.89276709) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627259392220409 × 6371000     		du = 191.581164040965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89273702)-sin(-0.89276709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627282810765851-0.627259392220409)×R²
    abs(-0.38579617--0.38584411)×2.34185454425218e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34185454425218e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34185454425218e-05×40589641000000     		ar = 36703.0324734722m²