Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57487 / 42385
↖ ↑ ↗
← N 53.512551°
W 22.107239°		 ← 181.62 m → N 53.512551°
W 22.104492°		 →
↑
181.57 m
↓
↑
181.57 m
↓
N 53.510918°
W 22.107239°		 ← 181.63 m →
32 978 m²		 N 53.510918°
W 22.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438594818115234 y=0.323375701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438594818115234 × 217)
    floor (0.438594818115234 × 131072)
    floor (57487.5)     		tx = 57487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323375701904297 × 217)
    floor (0.323375701904297 × 131072)
    floor (42385.5)     		ty = 42385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57487 / 42385 ti = "17/57487/42385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57487/42385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57487 ÷ 217
    57487 ÷ 131072     		x = 0.438591003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42385 ÷ 217
    42385 ÷ 131072     		y = 0.323371887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438591003417969 × 2 - 1) × π
    -0.122817993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38584411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323371887207031 × 2 - 1) × π
    0.353256225585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.10978716310392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38584411} λ = -0.38584411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10978716310392))-π/2
    2×atan(3.03371263973606)-π/2
    2×1.25238326910723-π/2
    2.50476653821445-1.57079632675     		φ = 0.93397021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38584411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.107239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93397021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.512551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57487 KachelY 42385 -0.38584411 0.93397021 -22.107239 53.512551
    Oben rechts KachelX + 1 57488 KachelY 42385 -0.38579617 0.93397021 -22.104492 53.512551
    Unten links KachelX 57487 KachelY + 1 42386 -0.38584411 0.93394171 -22.107239 53.510918
    Unten rechts KachelX + 1 57488 KachelY + 1 42386 -0.38579617 0.93394171 -22.104492 53.510918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93397021-0.93394171) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dl = 181.573499999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93397021-0.93394171) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dr = 181.573499999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38584411--0.38579617) × cos(0.93397021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594646679449741 × 6371000     		do = 181.620402109571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38584411--0.38579617) × cos(0.93394171) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594669592841822 × 6371000     		du = 181.627400449303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93397021)-sin(0.93394171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594646679449741-0.594669592841822)×R²
    abs(-0.38579617--0.38584411)×2.29133920806035e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29133920806035e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29133920806035e-05×40589641000000     		ar = 32978.0874412386m²