Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57485 / 45236
↖ ↑ ↗
← N 48.596592°
W 22.112732°		 ← 202 m → N 48.596592°
W 22.109985°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 48.594776°
W 22.112732°		 ← 202 m →
40 796 m²		 N 48.594776°
W 22.109985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438579559326172 y=0.345127105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438579559326172 × 217)
    floor (0.438579559326172 × 131072)
    floor (57485.5)     		tx = 57485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345127105712891 × 217)
    floor (0.345127105712891 × 131072)
    floor (45236.5)     		ty = 45236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57485 / 45236 ti = "17/57485/45236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57485/45236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57485 ÷ 217
    57485 ÷ 131072     		x = 0.438575744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45236 ÷ 217
    45236 ÷ 131072     		y = 0.345123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438575744628906 × 2 - 1) × π
    -0.122848510742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38593998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345123291015625 × 2 - 1) × π
    0.30975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.97311906228714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38593998} λ = -0.38593998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97311906228714))-π/2
    2×atan(2.64618521747094)-π/2
    2×1.20948343340679-π/2
    2.41896686681359-1.57079632675     		φ = 0.84817054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38593998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.112732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84817054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.596592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57485 KachelY 45236 -0.38593998 0.84817054 -22.112732 48.596592
    Oben rechts KachelX + 1 57486 KachelY 45236 -0.38589204 0.84817054 -22.109985 48.596592
    Unten links KachelX 57485 KachelY + 1 45237 -0.38593998 0.84813884 -22.112732 48.594776
    Unten rechts KachelX + 1 57486 KachelY + 1 45237 -0.38589204 0.84813884 -22.109985 48.594776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84817054-0.84813884) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dl = 201.960700000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84817054-0.84813884) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dr = 201.960700000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38593998--0.38589204) × cos(0.84817054) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661356478111909 × 6371000     		do = 201.995291731225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38593998--0.38589204) × cos(0.84813884) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661380255053635 × 6371000     		du = 202.002553821247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84817054)-sin(0.84813884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661356478111909-0.661380255053635)×R²
    abs(-0.38589204--0.38593998)×2.37769417259504e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37769417259504e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37769417259504e-05×40589641000000     		ar = 40795.8438467169m²