Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57484 / 85747
↖ ↑ ↗
← S 48.434668°
W 22.115479°		 ← 202.64 m → S 48.434668°
W 22.112732°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 48.436490°
W 22.115479°		 ← 202.63 m →
41 067 m²		 S 48.436490°
W 22.112732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438571929931641 y=0.654201507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438571929931641 × 217)
    floor (0.438571929931641 × 131072)
    floor (57484.5)     		tx = 57484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654201507568359 × 217)
    floor (0.654201507568359 × 131072)
    floor (85747.5)     		ty = 85747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57484 / 85747 ti = "17/57484/85747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57484/85747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57484 ÷ 217
    57484 ÷ 131072     		x = 0.438568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85747 ÷ 217
    85747 ÷ 131072     		y = 0.654197692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.12286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38598792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654197692871094 × 2 - 1) × π
    -0.308395385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.968852678220955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38598792} λ = -0.38598792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968852678220955))-π/2
    2×atan(0.379518217926989)-π/2
    2×0.362725951635524-π/2
    0.725451903271047-1.57079632675     		φ = -0.84534442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38598792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.115479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84534442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.434668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57484 KachelY 85747 -0.38598792 -0.84534442 -22.115479 -48.434668
    Oben rechts KachelX + 1 57485 KachelY 85747 -0.38593998 -0.84534442 -22.112732 -48.434668
    Unten links KachelX 57484 KachelY + 1 85748 -0.38598792 -0.84537623 -22.115479 -48.436490
    Unten rechts KachelX + 1 57485 KachelY + 1 85748 -0.38593998 -0.84537623 -22.112732 -48.436490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84534442--0.84537623) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84534442--0.84537623) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38598792--0.38593998) × cos(-0.84534442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663473626913923 × 6371000     		do = 202.641923470536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38598792--0.38593998) × cos(-0.84537623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663449826346744 × 6371000     		du = 202.634654164693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84534442)-sin(-0.84537623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663473626913923-0.663449826346744)×R²
    abs(-0.38593998--0.38598792)×2.38005671794328e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38005671794328e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38005671794328e-05×40589641000000     		ar = 41066.9815989011m²