Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57484 / 84987
↖ ↑ ↗
← S 47.030822°
W 22.115479°		 ← 208.18 m → S 47.030822°
W 22.112732°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 47.032695°
W 22.115479°		 ← 208.17 m →
43 343 m²		 S 47.032695°
W 22.112732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438571929931641 y=0.648403167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438571929931641 × 217)
    floor (0.438571929931641 × 131072)
    floor (57484.5)     		tx = 57484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648403167724609 × 217)
    floor (0.648403167724609 × 131072)
    floor (84987.5)     		ty = 84987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57484 / 84987 ti = "17/57484/84987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57484/84987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57484 ÷ 217
    57484 ÷ 131072     		x = 0.438568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84987 ÷ 217
    84987 ÷ 131072     		y = 0.648399353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.12286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38598792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648399353027344 × 2 - 1) × π
    -0.296798706054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.932420634509712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38598792} λ = -0.38598792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932420634509712))-π/2
    2×atan(0.3935997950503)-π/2
    2×0.374976811716498-π/2
    0.749953623432997-1.57079632675     		φ = -0.82084270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38598792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.115479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82084270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.030822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57484 KachelY 84987 -0.38598792 -0.82084270 -22.115479 -47.030822
    Oben rechts KachelX + 1 57485 KachelY 84987 -0.38593998 -0.82084270 -22.112732 -47.030822
    Unten links KachelX 57484 KachelY + 1 84988 -0.38598792 -0.82087538 -22.115479 -47.032695
    Unten rechts KachelX + 1 57485 KachelY + 1 84988 -0.38593998 -0.82087538 -22.112732 -47.032695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82084270--0.82087538) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82084270--0.82087538) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38598792--0.38593998) × cos(-0.82084270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681604828532435 × 6371000     		do = 208.179659141956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38598792--0.38593998) × cos(-0.82087538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681580915543252 × 6371000     		du = 208.172355499539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82084270)-sin(-0.82087538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681604828532435-0.681580915543252)×R²
    abs(-0.38593998--0.38598792)×2.39129891832501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39129891832501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39129891832501e-05×40589641000000     		ar = 43343.13572139m²