Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57483 / 85749
↖ ↑ ↗
← S 48.438312°
W 22.118225°		 ← 202.59 m → S 48.438312°
W 22.115479°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.440134°
W 22.118225°		 ← 202.58 m →
41 043 m²		 S 48.440134°
W 22.115479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438564300537109 y=0.654216766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438564300537109 × 217)
    floor (0.438564300537109 × 131072)
    floor (57483.5)     		tx = 57483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654216766357422 × 217)
    floor (0.654216766357422 × 131072)
    floor (85749.5)     		ty = 85749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57483 / 85749 ti = "17/57483/85749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57483/85749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57483 ÷ 217
    57483 ÷ 131072     		x = 0.438560485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85749 ÷ 217
    85749 ÷ 131072     		y = 0.654212951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438560485839844 × 2 - 1) × π
    -0.122879028320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38603585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654212951660156 × 2 - 1) × π
    -0.308425903320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.968948552020195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38603585} λ = -0.38603585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968948552020195))-π/2
    2×atan(0.379481833817725)-π/2
    2×0.362694147907716-π/2
    0.725388295815431-1.57079632675     		φ = -0.84540803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38603585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.118225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84540803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.438312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57483 KachelY 85749 -0.38603585 -0.84540803 -22.118225 -48.438312
    Oben rechts KachelX + 1 57484 KachelY 85749 -0.38598792 -0.84540803 -22.115479 -48.438312
    Unten links KachelX 57483 KachelY + 1 85750 -0.38603585 -0.84543983 -22.118225 -48.440134
    Unten rechts KachelX + 1 57484 KachelY + 1 85750 -0.38598792 -0.84543983 -22.115479 -48.440134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84540803--0.84543983) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84540803--0.84543983) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38603585--0.38598792) × cos(-0.84540803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663426032590654 × 6371000     		do = 202.585120066852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38603585--0.38598792) × cos(-0.84543983) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663402238163681 × 6371000     		du = 202.577854152329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84540803)-sin(-0.84543983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663426032590654-0.663402238163681)×R²
    abs(-0.38598792--0.38603585)×2.37944269727564e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37944269727564e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37944269727564e-05×40589641000000     		ar = 41042.5636125931m²