Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57483 / 45235
↖ ↑ ↗
← N 48.598409°
W 22.118225°		 ← 201.95 m → N 48.598409°
W 22.115479°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
N 48.596592°
W 22.118225°		 ← 201.95 m →
40 786 m²		 N 48.596592°
W 22.115479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438564300537109 y=0.345119476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438564300537109 × 217)
    floor (0.438564300537109 × 131072)
    floor (57483.5)     		tx = 57483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345119476318359 × 217)
    floor (0.345119476318359 × 131072)
    floor (45235.5)     		ty = 45235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57483 / 45235 ti = "17/57483/45235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57483/45235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57483 ÷ 217
    57483 ÷ 131072     		x = 0.438560485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45235 ÷ 217
    45235 ÷ 131072     		y = 0.345115661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438560485839844 × 2 - 1) × π
    -0.122879028320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38603585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345115661621094 × 2 - 1) × π
    0.309768676757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.97316699918676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38603585} λ = -0.38603585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97316699918676))-π/2
    2×atan(2.64631207042653)-π/2
    2×1.20949928481136-π/2
    2.41899856962273-1.57079632675     		φ = 0.84820224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38603585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.118225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84820224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.598409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57483 KachelY 45235 -0.38603585 0.84820224 -22.118225 48.598409
    Oben rechts KachelX + 1 57484 KachelY 45235 -0.38598792 0.84820224 -22.115479 48.598409
    Unten links KachelX 57483 KachelY + 1 45236 -0.38603585 0.84817054 -22.118225 48.596592
    Unten rechts KachelX + 1 57484 KachelY + 1 45236 -0.38598792 0.84817054 -22.115479 48.596592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84820224-0.84817054) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84820224-0.84817054) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38603585--0.38598792) × cos(0.84820224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661332700505593 × 6371000     		do = 201.945895931893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38603585--0.38598792) × cos(0.84817054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661356478111909 × 6371000     		du = 201.953156710027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84820224)-sin(0.84817054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661332700505593-0.661356478111909)×R²
    abs(-0.38598792--0.38603585)×2.37776063164441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37776063164441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37776063164441e-05×40589641000000     		ar = 40785.8677037378m²