Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57482 / 85724
↖ ↑ ↗
← S 48.392738°
W 22.120972°		 ← 202.81 m → S 48.392738°
W 22.118225°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
S 48.394562°
W 22.120972°		 ← 202.80 m →
41 127 m²		 S 48.394562°
W 22.118225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438556671142578 y=0.654026031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438556671142578 × 217)
    floor (0.438556671142578 × 131072)
    floor (57482.5)     		tx = 57482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654026031494141 × 217)
    floor (0.654026031494141 × 131072)
    floor (85724.5)     		ty = 85724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57482 / 85724 ti = "17/57482/85724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57482/85724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57482 ÷ 217
    57482 ÷ 131072     		x = 0.438552856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85724 ÷ 217
    85724 ÷ 131072     		y = 0.654022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438552856445312 × 2 - 1) × π
    -0.122894287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38608379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.30804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967750129529694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38608379} λ = -0.38608379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967750129529694))-π/2
    2×atan(0.379936886000031)-π/2
    2×0.363091858493345-π/2
    0.726183716986689-1.57079632675     		φ = -0.84461261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38608379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.120972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84461261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.392738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57482 KachelY 85724 -0.38608379 -0.84461261 -22.120972 -48.392738
    Oben rechts KachelX + 1 57483 KachelY 85724 -0.38603585 -0.84461261 -22.118225 -48.392738
    Unten links KachelX 57482 KachelY + 1 85725 -0.38608379 -0.84464444 -22.120972 -48.394562
    Unten rechts KachelX + 1 57483 KachelY + 1 85725 -0.38603585 -0.84464444 -22.118225 -48.394562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84461261--0.84464444) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dl = 202.78893000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84461261--0.84464444) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dr = 202.78893000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38608379--0.38603585) × cos(-0.84461261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664020989205378 × 6371000     		do = 202.809102003451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38608379--0.38603585) × cos(-0.84464444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663997189134512 × 6371000     		du = 202.801832849195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84461261)-sin(-0.84464444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664020989205378-0.663997189134512)×R²
    abs(-0.38603585--0.38608379)×2.38000708656649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38000708656649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38000708656649e-05×40589641000000     		ar = 41126.7037411678m²