Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57482 / 8332
↖ ↑ ↗
← N 79.025896°
E135.758056°		 ← 116.28 m → N 79.025896°
E135.763550°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
N 79.024850°
E135.758056°		 ← 116.30 m →
13 521 m²		 N 79.024850°
E135.763550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877113342285156 y=0.127143859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877113342285156 × 216)
    floor (0.877113342285156 × 65536)
    floor (57482.5)     		tx = 57482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127143859863281 × 216)
    floor (0.127143859863281 × 65536)
    floor (8332.5)     		ty = 8332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57482 / 8332 ti = "16/57482/8332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57482/8332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57482 ÷ 216
    57482 ÷ 65536     		x = 0.877105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8332 ÷ 216
    8332 ÷ 65536     		y = 0.12713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877105712890625 × 2 - 1) × π
    0.75421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36942507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12713623046875 × 2 - 1) × π
    0.7457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34277215823138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36942507} λ = 2.36942507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34277215823138))-π/2
    2×atan(10.4100549191878)-π/2
    2×1.4750292032846-π/2
    2.9500584065692-1.57079632675     		φ = 1.37926208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36942507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.758056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37926208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.025896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57482 KachelY 8332 2.36942507 1.37926208 135.758056 79.025896
    Oben rechts KachelX + 1 57483 KachelY 8332 2.36952095 1.37926208 135.763550 79.025896
    Unten links KachelX 57482 KachelY + 1 8333 2.36942507 1.37924383 135.758056 79.024850
    Unten rechts KachelX + 1 57483 KachelY + 1 8333 2.36952095 1.37924383 135.763550 79.024850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37926208-1.37924383) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dl = 116.270749999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37926208-1.37924383) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dr = 116.270749999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36942507-2.36952095) × cos(1.37926208) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19036530895704 × 6371000     		do = 116.284930716989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36942507-2.36952095) × cos(1.37924383) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190383225193488 × 6371000     		du = 116.295874876539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37926208)-sin(1.37924383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19036530895704-0.190383225193488)×R²
    abs(2.36952095-2.36942507)×1.79162364473406e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79162364473406e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79162364473406e-05×40589641000000     		ar = 13521.172351185m²