Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57481 / 8331
↖ ↑ ↗
← N 79.026942°
E135.752563°		 ← 116.26 m → N 79.026942°
E135.758056°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
N 79.025896°
E135.752563°		 ← 116.27 m →
13 518 m²		 N 79.025896°
E135.758056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877098083496094 y=0.127128601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877098083496094 × 216)
    floor (0.877098083496094 × 65536)
    floor (57481.5)     		tx = 57481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127128601074219 × 216)
    floor (0.127128601074219 × 65536)
    floor (8331.5)     		ty = 8331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57481 / 8331 ti = "16/57481/8331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57481/8331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57481 ÷ 216
    57481 ÷ 65536     		x = 0.877090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8331 ÷ 216
    8331 ÷ 65536     		y = 0.127120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877090454101562 × 2 - 1) × π
    0.754180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36932920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127120971679688 × 2 - 1) × π
    0.745758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34286803203062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36932920} λ = 2.36932920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34286803203062))-π/2
    2×atan(10.4110530185482)-π/2
    2×1.47503832837788-π/2
    2.95007665675576-1.57079632675     		φ = 1.37928033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36932920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37928033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.026942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57481 KachelY 8331 2.36932920 1.37928033 135.752563 79.026942
    Oben rechts KachelX + 1 57482 KachelY 8331 2.36942507 1.37928033 135.758056 79.026942
    Unten links KachelX 57481 KachelY + 1 8332 2.36932920 1.37926208 135.752563 79.025896
    Unten rechts KachelX + 1 57482 KachelY + 1 8332 2.36942507 1.37926208 135.758056 79.025896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37928033-1.37926208) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dl = 116.270750000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37928033-1.37926208) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dr = 116.270750000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36932920-2.36942507) × cos(1.37928033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190347392657189 × 6371000     		do = 116.261859486396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36932920-2.36942507) × cos(1.37926208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19036530895704 × 6371000     		du = 116.272802543229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37928033)-sin(1.37926208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190347392657189-0.19036530895704)×R²
    abs(2.36942507-2.36932920)×1.79162998511229e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79162998511229e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79162998511229e-05×40589641000000     		ar = 13518.4897777926m²