Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57481 / 41097
↖ ↑ ↗
← S 41.545589°
E135.752563°		 ← 457.13 m → S 41.545589°
E135.758056°		 →
↑
457.12 m
↓
↑
457.12 m
↓
S 41.549700°
E135.752563°		 ← 457.10 m →
208 957 m²		 S 41.549700°
E135.758056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877098083496094 y=0.627098083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877098083496094 × 216)
    floor (0.877098083496094 × 65536)
    floor (57481.5)     		tx = 57481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627098083496094 × 216)
    floor (0.627098083496094 × 65536)
    floor (41097.5)     		ty = 41097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57481 / 41097 ti = "16/57481/41097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57481/41097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57481 ÷ 216
    57481 ÷ 65536     		x = 0.877090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41097 ÷ 216
    41097 ÷ 65536     		y = 0.627090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877090454101562 × 2 - 1) × π
    0.754180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36932920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.254180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.798532873870895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36932920} λ = 2.36932920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798532873870895))-π/2
    2×atan(0.449988670198724)-π/2
    2×0.42284450422083-π/2
    0.845689008441661-1.57079632675     		φ = -0.72510732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36932920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72510732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.545589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57481 KachelY 41097 2.36932920 -0.72510732 135.752563 -41.545589
    Oben rechts KachelX + 1 57482 KachelY 41097 2.36942507 -0.72510732 135.758056 -41.545589
    Unten links KachelX 57481 KachelY + 1 41098 2.36932920 -0.72517907 135.752563 -41.549700
    Unten rechts KachelX + 1 57482 KachelY + 1 41098 2.36942507 -0.72517907 135.758056 -41.549700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72510732--0.72517907) × R
    7.17500000000371e-05 × 6371000     		dl = 457.119250000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72510732--0.72517907) × R
    7.17500000000371e-05 × 6371000     		dr = 457.119250000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36932920-2.36942507) × cos(-0.72510732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748428249960143 × 6371000     		do = 457.130821798149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36932920-2.36942507) × cos(-0.72517907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748380662302366 × 6371000     		du = 457.101755838775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72510732)-sin(-0.72517907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748428249960143-0.748380662302366)×R²
    abs(2.36942507-2.36932920)×4.75876577767931e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75876577767931e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75876577767931e-05×40589641000000     		ar = 208956.655197399m²