Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57480 / 85702
↖ ↑ ↗
← S 48.352599°
W 22.126465°		 ← 202.93 m → S 48.352599°
W 22.123718°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 48.354424°
W 22.126465°		 ← 202.92 m →
41 176 m²		 S 48.354424°
W 22.123718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438541412353516 y=0.653858184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438541412353516 × 217)
    floor (0.438541412353516 × 131072)
    floor (57480.5)     		tx = 57480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653858184814453 × 217)
    floor (0.653858184814453 × 131072)
    floor (85702.5)     		ty = 85702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57480 / 85702 ti = "17/57480/85702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57480/85702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57480 ÷ 217
    57480 ÷ 131072     		x = 0.43853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85702 ÷ 217
    85702 ÷ 131072     		y = 0.653854370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38617966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653854370117188 × 2 - 1) × π
    -0.307708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.966695517738052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38617966} λ = -0.38617966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966695517738052))-π/2
    2×atan(0.380337783278427)-π/2
    2×0.363442138735571-π/2
    0.726884277471143-1.57079632675     		φ = -0.84391205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38617966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84391205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.352599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57480 KachelY 85702 -0.38617966 -0.84391205 -22.126465 -48.352599
    Oben rechts KachelX + 1 57481 KachelY 85702 -0.38613173 -0.84391205 -22.123718 -48.352599
    Unten links KachelX 57480 KachelY + 1 85703 -0.38617966 -0.84394390 -22.126465 -48.354424
    Unten rechts KachelX + 1 57481 KachelY + 1 85703 -0.38613173 -0.84394390 -22.123718 -48.354424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84391205--0.84394390) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dl = 202.916349999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84391205--0.84394390) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dr = 202.916349999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38617966--0.38613173) × cos(-0.84391205) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664544644690034 × 6371000     		do = 202.926701728067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38617966--0.38613173) × cos(-0.84394390) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664520844486235 × 6371000     		du = 202.91943404952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84391205)-sin(-0.84394390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664544644690034-0.664520844486235)×R²
    abs(-0.38613173--0.38617966)×2.38002037985519e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38002037985519e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38002037985519e-05×40589641000000     		ar = 41176.4082701447m²