Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57480 / 85172
↖ ↑ ↗
← S 47.376035°
W 22.126465°		 ← 206.79 m → S 47.376035°
W 22.123718°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
S 47.377894°
W 22.126465°		 ← 206.78 m →
42 763 m²		 S 47.377894°
W 22.123718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438541412353516 y=0.649814605712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438541412353516 × 217)
    floor (0.438541412353516 × 131072)
    floor (57480.5)     		tx = 57480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649814605712891 × 217)
    floor (0.649814605712891 × 131072)
    floor (85172.5)     		ty = 85172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57480 / 85172 ti = "17/57480/85172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57480/85172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57480 ÷ 217
    57480 ÷ 131072     		x = 0.43853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85172 ÷ 217
    85172 ÷ 131072     		y = 0.649810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38617966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.29962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.941288960939423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38617966} λ = -0.38617966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941288960939423))-π/2
    2×atan(0.390124655696024)-π/2
    2×0.371964267959859-π/2
    0.743928535919718-1.57079632675     		φ = -0.82686779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38617966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82686779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.376035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57480 KachelY 85172 -0.38617966 -0.82686779 -22.126465 -47.376035
    Oben rechts KachelX + 1 57481 KachelY 85172 -0.38613173 -0.82686779 -22.123718 -47.376035
    Unten links KachelX 57480 KachelY + 1 85173 -0.38617966 -0.82690025 -22.126465 -47.377894
    Unten rechts KachelX + 1 57481 KachelY + 1 85173 -0.38613173 -0.82690025 -22.123718 -47.377894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82686779--0.82690025) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dl = 206.802660000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82686779--0.82690025) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dr = 206.802660000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38617966--0.38613173) × cos(-0.82686779) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677183801799395 × 6371000     		do = 206.786220400468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38617966--0.38613173) × cos(-0.82690025) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677159916923378 × 6371000     		du = 206.778926866241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82686779)-sin(-0.82690025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677183801799395-0.677159916923378)×R²
    abs(-0.38613173--0.38617966)×2.38848760171217e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38848760171217e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38848760171217e-05×40589641000000     		ar = 42763.1862727184m²