Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57480 / 84982
↖ ↑ ↗
← S 47.021461°
W 22.126465°		 ← 208.17 m → S 47.021461°
W 22.123718°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 47.023334°
W 22.126465°		 ← 208.17 m →
43 342 m²		 S 47.023334°
W 22.123718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438541412353516 y=0.648365020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438541412353516 × 217)
    floor (0.438541412353516 × 131072)
    floor (57480.5)     		tx = 57480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648365020751953 × 217)
    floor (0.648365020751953 × 131072)
    floor (84982.5)     		ty = 84982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57480 / 84982 ti = "17/57480/84982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57480/84982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57480 ÷ 217
    57480 ÷ 131072     		x = 0.43853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84982 ÷ 217
    84982 ÷ 131072     		y = 0.648361206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38617966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648361206054688 × 2 - 1) × π
    -0.296722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.932180950011612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38617966} λ = -0.38617966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932180950011612))-π/2
    2×atan(0.393694146126423)-π/2
    2×0.37505850393492-π/2
    0.75011700786984-1.57079632675     		φ = -0.82067932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38617966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82067932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.021461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57480 KachelY 84982 -0.38617966 -0.82067932 -22.126465 -47.021461
    Oben rechts KachelX + 1 57481 KachelY 84982 -0.38613173 -0.82067932 -22.123718 -47.021461
    Unten links KachelX 57480 KachelY + 1 84983 -0.38617966 -0.82071200 -22.126465 -47.023334
    Unten rechts KachelX + 1 57481 KachelY + 1 84983 -0.38613173 -0.82071200 -22.123718 -47.023334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82067932--0.82071200) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82067932--0.82071200) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38617966--0.38613173) × cos(-0.82067932) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681724367926529 × 6371000     		do = 208.172736890398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38617966--0.38613173) × cos(-0.82071200) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681700458576865 × 6371000     		du = 208.165435882849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82067932)-sin(-0.82071200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681724367926529-0.681700458576865)×R²
    abs(-0.38613173--0.38617966)×2.39093496636755e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39093496636755e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39093496636755e-05×40589641000000     		ar = 43341.6947531801m²