Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57479 / 85713
↖ ↑ ↗
← S 48.372672°
W 22.129211°		 ← 202.89 m → S 48.372672°
W 22.126465°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 48.374497°
W 22.129211°		 ← 202.88 m →
41 156 m²		 S 48.374497°
W 22.126465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438533782958984 y=0.653942108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438533782958984 × 217)
    floor (0.438533782958984 × 131072)
    floor (57479.5)     		tx = 57479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653942108154297 × 217)
    floor (0.653942108154297 × 131072)
    floor (85713.5)     		ty = 85713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57479 / 85713 ti = "17/57479/85713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57479/85713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57479 ÷ 217
    57479 ÷ 131072     		x = 0.438529968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85713 ÷ 217
    85713 ÷ 131072     		y = 0.653938293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438529968261719 × 2 - 1) × π
    -0.122940063476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38622760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653938293457031 × 2 - 1) × π
    -0.307876586914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.967222823633873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38622760} λ = -0.38622760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967222823633873))-π/2
    2×atan(0.380137281790356)-π/2
    2×0.363266964098605-π/2
    0.72653392819721-1.57079632675     		φ = -0.84426240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38622760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.129211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84426240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.372672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57479 KachelY 85713 -0.38622760 -0.84426240 -22.129211 -48.372672
    Oben rechts KachelX + 1 57480 KachelY 85713 -0.38617966 -0.84426240 -22.126465 -48.372672
    Unten links KachelX 57479 KachelY + 1 85714 -0.38622760 -0.84429424 -22.129211 -48.374497
    Unten rechts KachelX + 1 57480 KachelY + 1 85714 -0.38617966 -0.84429424 -22.126465 -48.374497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84426240--0.84429424) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84426240--0.84429424) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38622760--0.38617966) × cos(-0.84426240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664282805376464 × 6371000     		do = 202.889067401484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38622760--0.38617966) × cos(-0.84429424) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664259005233865 × 6371000     		du = 202.881798225319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84426240)-sin(-0.84429424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664282805376464-0.664259005233865)×R²
    abs(-0.38617966--0.38622760)×2.3800142599506e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3800142599506e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3800142599506e-05×40589641000000     		ar = 41155.8456671476m²