Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57478 / 44425
↖ ↑ ↗
← N 50.048321°
W 22.131958°		 ← 196.13 m → N 50.048321°
W 22.129211°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
N 50.046558°
W 22.131958°		 ← 196.13 m →
38 461 m²		 N 50.046558°
W 22.129211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438526153564453 y=0.338939666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438526153564453 × 217)
    floor (0.438526153564453 × 131072)
    floor (57478.5)     		tx = 57478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338939666748047 × 217)
    floor (0.338939666748047 × 131072)
    floor (44425.5)     		ty = 44425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57478 / 44425 ti = "17/57478/44425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57478/44425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57478 ÷ 217
    57478 ÷ 131072     		x = 0.438522338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44425 ÷ 217
    44425 ÷ 131072     		y = 0.338935852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438522338867188 × 2 - 1) × π
    -0.122955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38627554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338935852050781 × 2 - 1) × π
    0.322128295898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.01199588787901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38627554} λ = -0.38627554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01199588787901))-π/2
    2×atan(2.75108639908821)-π/2
    2×1.2221521576813-π/2
    2.4443043153626-1.57079632675     		φ = 0.87350799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38627554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.131958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87350799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.048321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57478 KachelY 44425 -0.38627554 0.87350799 -22.131958 50.048321
    Oben rechts KachelX + 1 57479 KachelY 44425 -0.38622760 0.87350799 -22.129211 50.048321
    Unten links KachelX 57478 KachelY + 1 44426 -0.38627554 0.87347721 -22.131958 50.046558
    Unten rechts KachelX + 1 57479 KachelY + 1 44426 -0.38622760 0.87347721 -22.129211 50.046558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87350799-0.87347721) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87350799-0.87347721) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38627554--0.38622760) × cos(0.87350799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642141326859769 × 6371000     		do = 196.126489940598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38627554--0.38622760) × cos(0.87347721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642164922081111 × 6371000     		du = 196.133696528537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87350799)-sin(0.87347721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642141326859769-0.642164922081111)×R²
    abs(-0.38622760--0.38627554)×2.35952213420987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35952213420987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35952213420987e-05×40589641000000     		ar = 38460.9896856142m²