Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57477 / 85715
↖ ↑ ↗
← S 48.376321°
W 22.134704°		 ← 202.83 m → S 48.376321°
W 22.131958°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 48.378145°
W 22.134704°		 ← 202.82 m →
41 144 m²		 S 48.378145°
W 22.131958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438518524169922 y=0.653957366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438518524169922 × 217)
    floor (0.438518524169922 × 131072)
    floor (57477.5)     		tx = 57477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653957366943359 × 217)
    floor (0.653957366943359 × 131072)
    floor (85715.5)     		ty = 85715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57477 / 85715 ti = "17/57477/85715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57477/85715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57477 ÷ 217
    57477 ÷ 131072     		x = 0.438514709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85715 ÷ 217
    85715 ÷ 131072     		y = 0.653953552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438514709472656 × 2 - 1) × π
    -0.122970581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38632347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653953552246094 × 2 - 1) × π
    -0.307907104492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.967318697433113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38632347} λ = -0.38632347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967318697433113))-π/2
    2×atan(0.380100838331932)-π/2
    2×0.363235121581408-π/2
    0.726470243162816-1.57079632675     		φ = -0.84432608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38632347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.134704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84432608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.376321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57477 KachelY 85715 -0.38632347 -0.84432608 -22.134704 -48.376321
    Oben rechts KachelX + 1 57478 KachelY 85715 -0.38627554 -0.84432608 -22.131958 -48.376321
    Unten links KachelX 57477 KachelY + 1 85716 -0.38632347 -0.84435792 -22.134704 -48.378145
    Unten rechts KachelX + 1 57478 KachelY + 1 85716 -0.38627554 -0.84435792 -22.131958 -48.378145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84432608--0.84435792) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84432608--0.84435792) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(-0.84432608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664235204417849 × 6371000     		do = 202.832210418623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(-0.84435792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664211402928441 × 6371000     		du = 202.824942347501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84432608)-sin(-0.84435792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664235204417849-0.664211402928441)×R²
    abs(-0.38627554--0.38632347)×2.38014894078376e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38014894078376e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38014894078376e-05×40589641000000     		ar = 41144.3121901777m²