Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57477 / 85704
↖ ↑ ↗
← S 48.356249°
W 22.134704°		 ← 202.91 m → S 48.356249°
W 22.131958°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 48.358074°
W 22.134704°		 ← 202.90 m →
41 173 m²		 S 48.358074°
W 22.131958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438518524169922 y=0.653873443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438518524169922 × 217)
    floor (0.438518524169922 × 131072)
    floor (57477.5)     		tx = 57477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653873443603516 × 217)
    floor (0.653873443603516 × 131072)
    floor (85704.5)     		ty = 85704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57477 / 85704 ti = "17/57477/85704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57477/85704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57477 ÷ 217
    57477 ÷ 131072     		x = 0.438514709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85704 ÷ 217
    85704 ÷ 131072     		y = 0.65386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438514709472656 × 2 - 1) × π
    -0.122970581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38632347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38632347} λ = -0.38632347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966791391537293))-π/2
    2×atan(0.380301320598086)-π/2
    2×0.36341028366673-π/2
    0.72682056733346-1.57079632675     		φ = -0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38632347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.134704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57477 KachelY 85704 -0.38632347 -0.84397576 -22.134704 -48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 57478 KachelY 85704 -0.38627554 -0.84397576 -22.131958 -48.356249
    Unten links KachelX 57477 KachelY + 1 85705 -0.38632347 -0.84400761 -22.134704 -48.358074
    Unten rechts KachelX + 1 57478 KachelY + 1 85705 -0.38627554 -0.84400761 -22.131958 -48.358074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84397576--0.84400761) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84397576--0.84400761) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(-0.84397576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 202.91216388342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(-0.84400761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664473234583227 × 6371000     		du = 202.904895793125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84397576)-sin(-0.84400761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664473234583227)×R²
    abs(-0.38627554--0.38632347)×2.38015521959456e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38015521959456e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38015521959456e-05×40589641000000     		ar = 41173.4582622251m²