Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57477 / 84131
↖ ↑ ↗
← S 45.404235°
W 22.134704°		 ← 214.39 m → S 45.404235°
W 22.131958°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
S 45.406164°
W 22.134704°		 ← 214.39 m →
45 976 m²		 S 45.406164°
W 22.131958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438518524169922 y=0.641872406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438518524169922 × 217)
    floor (0.438518524169922 × 131072)
    floor (57477.5)     		tx = 57477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641872406005859 × 217)
    floor (0.641872406005859 × 131072)
    floor (84131.5)     		ty = 84131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57477 / 84131 ti = "17/57477/84131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57477/84131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57477 ÷ 217
    57477 ÷ 131072     		x = 0.438514709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84131 ÷ 217
    84131 ÷ 131072     		y = 0.641868591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438514709472656 × 2 - 1) × π
    -0.122970581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38632347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641868591308594 × 2 - 1) × π
    -0.283737182617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.891386648434944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38632347} λ = -0.38632347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891386648434944))-π/2
    2×atan(0.410086712216254)-π/2
    2×0.38917146235142-π/2
    0.77834292470284-1.57079632675     		φ = -0.79245340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38632347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.134704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79245340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.404235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57477 KachelY 84131 -0.38632347 -0.79245340 -22.134704 -45.404235
    Oben rechts KachelX + 1 57478 KachelY 84131 -0.38627554 -0.79245340 -22.131958 -45.404235
    Unten links KachelX 57477 KachelY + 1 84132 -0.38632347 -0.79248706 -22.134704 -45.406164
    Unten rechts KachelX + 1 57478 KachelY + 1 84132 -0.38627554 -0.79248706 -22.131958 -45.406164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79245340--0.79248706) × R
    3.36600000000464e-05 × 6371000     		dl = 214.447860000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79245340--0.79248706) × R
    3.36600000000464e-05 × 6371000     		dr = 214.447860000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(-0.79245340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702100418400245 × 6371000     		do = 214.394809026679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(-0.79248706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702076449458818 × 6371000     		du = 214.387489822068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79245340)-sin(-0.79248706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702100418400245-0.702076449458818)×R²
    abs(-0.38627554--0.38632347)×2.39689414270883e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39689414270883e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39689414270883e-05×40589641000000     		ar = 45975.7232011939m²