Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57477 / 45220
↖ ↑ ↗
← N 48.625648°
W 22.134704°		 ← 201.84 m → N 48.625648°
W 22.131958°		 →
↑
201.90 m
↓
↑
201.90 m
↓
N 48.623832°
W 22.134704°		 ← 201.84 m →
40 751 m²		 N 48.623832°
W 22.131958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438518524169922 y=0.345005035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438518524169922 × 217)
    floor (0.438518524169922 × 131072)
    floor (57477.5)     		tx = 57477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345005035400391 × 217)
    floor (0.345005035400391 × 131072)
    floor (45220.5)     		ty = 45220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57477 / 45220 ti = "17/57477/45220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57477/45220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57477 ÷ 217
    57477 ÷ 131072     		x = 0.438514709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45220 ÷ 217
    45220 ÷ 131072     		y = 0.345001220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438514709472656 × 2 - 1) × π
    -0.122970581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38632347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345001220703125 × 2 - 1) × π
    0.30999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.973886052681061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38632347} λ = -0.38632347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.973886052681061))-π/2
    2×atan(2.64821559465364)-π/2
    2×1.2097369874872-π/2
    2.4194739749744-1.57079632675     		φ = 0.84867765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38632347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.134704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84867765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.625648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57477 KachelY 45220 -0.38632347 0.84867765 -22.134704 48.625648
    Oben rechts KachelX + 1 57478 KachelY 45220 -0.38627554 0.84867765 -22.131958 48.625648
    Unten links KachelX 57477 KachelY + 1 45221 -0.38632347 0.84864596 -22.134704 48.623832
    Unten rechts KachelX + 1 57478 KachelY + 1 45221 -0.38627554 0.84864596 -22.131958 48.623832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84867765-0.84864596) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dl = 201.896989999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84867765-0.84864596) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dr = 201.896989999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(0.84867765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660976024212869 × 6371000     		do = 201.836980535094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38632347--0.38627554) × cos(0.84864596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660999804279429 × 6371000     		du = 201.844242064493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84867765)-sin(0.84864596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660976024212869-0.660999804279429)×R²
    abs(-0.38627554--0.38632347)×2.37800665598975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37800665598975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37800665598975e-05×40589641000000     		ar = 40751.0118844628m²