Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57476 / 87132
↖ ↑ ↗
← S 50.896104°
W 22.137451°		 ← 192.64 m → S 50.896104°
W 22.134704°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 50.897837°
W 22.137451°		 ← 192.63 m →
37 113 m²		 S 50.897837°
W 22.134704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438510894775391 y=0.664768218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438510894775391 × 217)
    floor (0.438510894775391 × 131072)
    floor (57476.5)     		tx = 57476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664768218994141 × 217)
    floor (0.664768218994141 × 131072)
    floor (87132.5)     		ty = 87132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57476 / 87132 ti = "17/57476/87132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57476/87132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57476 ÷ 217
    57476 ÷ 131072     		x = 0.438507080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87132 ÷ 217
    87132 ÷ 131072     		y = 0.664764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.12298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38637141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.32952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03524528419473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38637141} λ = -0.38637141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03524528419473))-π/2
    2×atan(0.355139260193265)-π/2
    2×0.341245868176007-π/2
    0.682491736352014-1.57079632675     		φ = -0.88830459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38637141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88830459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.896104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57476 KachelY 87132 -0.38637141 -0.88830459 -22.137451 -50.896104
    Oben rechts KachelX + 1 57477 KachelY 87132 -0.38632347 -0.88830459 -22.134704 -50.896104
    Unten links KachelX 57476 KachelY + 1 87133 -0.38637141 -0.88833483 -22.137451 -50.897837
    Unten rechts KachelX + 1 57477 KachelY + 1 87133 -0.38632347 -0.88833483 -22.134704 -50.897837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88830459--0.88833483) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88830459--0.88833483) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38637141--0.38632347) × cos(-0.88830459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630728576558529 × 6371000     		do = 192.640742234632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38637141--0.38632347) × cos(-0.88833483) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630705109923707 × 6371000     		du = 192.633574920326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88830459)-sin(-0.88833483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630728576558529-0.630705109923707)×R²
    abs(-0.38632347--0.38637141)×2.34666348218893e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34666348218893e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34666348218893e-05×40589641000000     		ar = 37113.2900426487m²