Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57475 / 87131
↖ ↑ ↗
← S 50.894371°
W 22.140198°		 ← 192.65 m → S 50.894371°
W 22.137451°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 50.896104°
W 22.140198°		 ← 192.64 m →
37 115 m²		 S 50.896104°
W 22.137451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438503265380859 y=0.664760589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438503265380859 × 217)
    floor (0.438503265380859 × 131072)
    floor (57475.5)     		tx = 57475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664760589599609 × 217)
    floor (0.664760589599609 × 131072)
    floor (87131.5)     		ty = 87131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57475 / 87131 ti = "17/57475/87131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57475/87131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57475 ÷ 217
    57475 ÷ 131072     		x = 0.438499450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87131 ÷ 217
    87131 ÷ 131072     		y = 0.664756774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438499450683594 × 2 - 1) × π
    -0.123001098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38641935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664756774902344 × 2 - 1) × π
    -0.329513549804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.03519734729511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38641935} λ = -0.38641935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03519734729511))-π/2
    2×atan(0.355156284876384)-π/2
    2×0.341260986043412-π/2
    0.682521972086824-1.57079632675     		φ = -0.88827435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38641935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.140198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88827435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.894371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57475 KachelY 87131 -0.38641935 -0.88827435 -22.140198 -50.894371
    Oben rechts KachelX + 1 57476 KachelY 87131 -0.38637141 -0.88827435 -22.137451 -50.894371
    Unten links KachelX 57475 KachelY + 1 87132 -0.38641935 -0.88830459 -22.140198 -50.896104
    Unten rechts KachelX + 1 57476 KachelY + 1 87132 -0.38637141 -0.88830459 -22.137451 -50.896104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88827435--0.88830459) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88827435--0.88830459) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38641935--0.38637141) × cos(-0.88827435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630752042616577 × 6371000     		do = 192.647909372553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38641935--0.38637141) × cos(-0.88830459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630728576558529 × 6371000     		du = 192.640742234409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88827435)-sin(-0.88830459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630752042616577-0.630728576558529)×R²
    abs(-0.38637141--0.38641935)×2.34660580473722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34660580473722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34660580473722e-05×40589641000000     		ar = 37114.6708736166m²