Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57474 / 42113
↖ ↑ ↗
← N 53.954470°
W 22.142944°		 ← 179.68 m → N 53.954470°
W 22.140198°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
N 53.952853°
W 22.142944°		 ← 179.69 m →
32 294 m²		 N 53.952853°
W 22.140198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438495635986328 y=0.321300506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438495635986328 × 217)
    floor (0.438495635986328 × 131072)
    floor (57474.5)     		tx = 57474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321300506591797 × 217)
    floor (0.321300506591797 × 131072)
    floor (42113.5)     		ty = 42113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57474 / 42113 ti = "17/57474/42113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57474/42113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57474 ÷ 217
    57474 ÷ 131072     		x = 0.438491821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42113 ÷ 217
    42113 ÷ 131072     		y = 0.321296691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438491821289062 × 2 - 1) × π
    -0.123016357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38646728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321296691894531 × 2 - 1) × π
    0.357406616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.12282599980058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38646728} λ = -0.38646728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12282599980058))-π/2
    2×atan(3.07352773058106)-π/2
    2×1.25623973195703-π/2
    2.51247946391406-1.57079632675     		φ = 0.94168314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38646728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.142944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94168314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.954470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57474 KachelY 42113 -0.38646728 0.94168314 -22.142944 53.954470
    Oben rechts KachelX + 1 57475 KachelY 42113 -0.38641935 0.94168314 -22.140198 53.954470
    Unten links KachelX 57474 KachelY + 1 42114 -0.38646728 0.94165493 -22.142944 53.952853
    Unten rechts KachelX + 1 57475 KachelY + 1 42114 -0.38641935 0.94165493 -22.140198 53.952853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94168314-0.94165493) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94168314-0.94165493) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38646728--0.38641935) × cos(0.94168314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.588427956908937 × 6371000     		do = 179.683555430575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38646728--0.38641935) × cos(0.94165493) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.588450765860476 × 6371000     		du = 179.69052041832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94168314)-sin(0.94165493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588427956908937-0.588450765860476)×R²
    abs(-0.38641935--0.38646728)×2.28089515393881e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28089515393881e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28089515393881e-05×40589641000000     		ar = 32294.4164082652m²