Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57472 / 45215
↖ ↑ ↗
← N 48.634724°
W 22.148438°		 ← 201.84 m → N 48.634724°
W 22.145691°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
N 48.632909°
W 22.148438°		 ← 201.85 m →
40 739 m²		 N 48.632909°
W 22.145691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438480377197266 y=0.344966888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438480377197266 × 217)
    floor (0.438480377197266 × 131072)
    floor (57472.5)     		tx = 57472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344966888427734 × 217)
    floor (0.344966888427734 × 131072)
    floor (45215.5)     		ty = 45215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57472 / 45215 ti = "17/57472/45215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57472/45215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57472 ÷ 217
    57472 ÷ 131072     		x = 0.4384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45215 ÷ 217
    45215 ÷ 131072     		y = 0.344963073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344963073730469 × 2 - 1) × π
    0.310073852539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.974125737179161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38656316} λ = -0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974125737179161))-π/2
    2×atan(2.6488504069536)-π/2
    2×1.20981619321712-π/2
    2.41963238643425-1.57079632675     		φ = 0.84883606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84883606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.634724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57472 KachelY 45215 -0.38656316 0.84883606 -22.148438 48.634724
    Oben rechts KachelX + 1 57473 KachelY 45215 -0.38651522 0.84883606 -22.145691 48.634724
    Unten links KachelX 57472 KachelY + 1 45216 -0.38656316 0.84880438 -22.148438 48.632909
    Unten rechts KachelX + 1 57473 KachelY + 1 45216 -0.38651522 0.84880438 -22.145691 48.632909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84883606-0.84880438) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84883606-0.84880438) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38656316--0.38651522) × cos(0.84883606) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660857143944178 × 6371000     		do = 201.842782223538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38656316--0.38651522) × cos(0.84880438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6608809198237 × 6371000     		du = 201.850043989136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84883606)-sin(0.84880438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660857143944178-0.6608809198237)×R²
    abs(-0.38651522--0.38656316)×2.37758795216259e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37758795216259e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37758795216259e-05×40589641000000     		ar = 40739.323616845m²