Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57471 / 87037
↖ ↑ ↗
← S 50.731240°
W 22.151184°		 ← 193.32 m → S 50.731240°
W 22.148438°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
S 50.732978°
W 22.151184°		 ← 193.31 m →
37 368 m²		 S 50.732978°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438472747802734 y=0.664043426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438472747802734 × 217)
    floor (0.438472747802734 × 131072)
    floor (57471.5)     		tx = 57471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664043426513672 × 217)
    floor (0.664043426513672 × 131072)
    floor (87037.5)     		ty = 87037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57471 / 87037 ti = "17/57471/87037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57471/87037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57471 ÷ 217
    57471 ÷ 131072     		x = 0.438468933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87037 ÷ 217
    87037 ÷ 131072     		y = 0.664039611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438468933105469 × 2 - 1) × π
    -0.123062133789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38661110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664039611816406 × 2 - 1) × π
    -0.328079223632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03069127873083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38661110} λ = -0.38661110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03069127873083))-π/2
    2×atan(0.356760254531691)-π/2
    2×0.342684577534782-π/2
    0.685369155069565-1.57079632675     		φ = -0.88542717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38661110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.151184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88542717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.731240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57471 KachelY 87037 -0.38661110 -0.88542717 -22.151184 -50.731240
    Oben rechts KachelX + 1 57472 KachelY 87037 -0.38656316 -0.88542717 -22.148438 -50.731240
    Unten links KachelX 57471 KachelY + 1 87038 -0.38661110 -0.88545751 -22.151184 -50.732978
    Unten rechts KachelX + 1 57472 KachelY + 1 87038 -0.38656316 -0.88545751 -22.148438 -50.732978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88542717--0.88545751) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dl = 193.296139999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88542717--0.88545751) × R
    3.03399999999066e-05 × 6371000     		dr = 193.296139999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38661110--0.38656316) × cos(-0.88542717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632958850453917 × 6371000     		do = 193.32192528931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38661110--0.38656316) × cos(-0.88545751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632935361376384 × 6371000     		du = 193.314751120423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88542717)-sin(-0.88545751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632958850453917-0.632935361376384)×R²
    abs(-0.38656316--0.38661110)×2.34890775333563e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34890775333563e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34890775333563e-05×40589641000000     		ar = 37367.6885690417m²