Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57471 / 45202
↖ ↑ ↗
← N 48.658315°
W 22.151184°		 ← 201.75 m → N 48.658315°
W 22.148438°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
N 48.656500°
W 22.151184°		 ← 201.76 m →
40 707 m²		 N 48.656500°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438472747802734 y=0.344867706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438472747802734 × 217)
    floor (0.438472747802734 × 131072)
    floor (57471.5)     		tx = 57471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344867706298828 × 217)
    floor (0.344867706298828 × 131072)
    floor (45202.5)     		ty = 45202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57471 / 45202 ti = "17/57471/45202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57471/45202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57471 ÷ 217
    57471 ÷ 131072     		x = 0.438468933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45202 ÷ 217
    45202 ÷ 131072     		y = 0.344863891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438468933105469 × 2 - 1) × π
    -0.123062133789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38661110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344863891601562 × 2 - 1) × π
    0.310272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.974748916874222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38661110} λ = -0.38661110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974748916874222))-π/2
    2×atan(2.65050163119374)-π/2
    2×1.2100220614417-π/2
    2.42004412288339-1.57079632675     		φ = 0.84924780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38661110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.151184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84924780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.658315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57471 KachelY 45202 -0.38661110 0.84924780 -22.151184 48.658315
    Oben rechts KachelX + 1 57472 KachelY 45202 -0.38656316 0.84924780 -22.148438 48.658315
    Unten links KachelX 57471 KachelY + 1 45203 -0.38661110 0.84921613 -22.151184 48.656500
    Unten rechts KachelX + 1 57472 KachelY + 1 45203 -0.38656316 0.84921613 -22.148438 48.656500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84924780-0.84921613) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84924780-0.84921613) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38661110--0.38656316) × cos(0.84924780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660548072241618 × 6371000     		do = 201.748383769837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38661110--0.38656316) × cos(0.84921613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66057184923182 × 6371000     		du = 201.755645874665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84924780)-sin(0.84921613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660548072241618-0.66057184923182)×R²
    abs(-0.38656316--0.38661110)×2.37769902027285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37769902027285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37769902027285e-05×40589641000000     		ar = 40707.4172808827m²